《緝古算經》

算經十書
李淳風

唐代傑出的天文學家、數學家。陝西岐山人。西元602年生，670年卒。
李淳風在數學方面的主要貢獻是編定和注釋著名的十部算經。這十部算經後被用作唐代國子監算學館的數學教材。《隋書·百官志》記載：“國子寺祭酒，統國子、太學、四門、書（學）、算學，各置博士，助教、學生等員。”這是國家專門數學教育的開始，唐代在隋的基礎上繼續舉辦數學教育，並以算取士。顯慶元年（656）於國子監內設算學館，同時著手選編算學教科書。據《舊唐書》卷七九《李淳風傳》載：“先是，太史監侯王思辯表稱《五曹》 、《孫子》十部算經，理多踳駁，淳風複與國子監算學博士梁述、太學助教王真儒等受詔注《五曹》、《孫子》十部算經。書成，高宗令國學行用。”《唐會要》卷一六稱：“顯慶元年十二月十九日，尚書左僕射于志寧奏置，令習李淳風等注釋《五曹》、《孫子》等十部算經，分為二十卷行用。”十部算經又稱算經十書，是指《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《綴術》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算術》這十部數學著作。它們是唐代以前的主要數學著作，代表了中國古代數學的光輝成就。

《算經十書》源流考

中國漢唐千餘年間陸續出現的十部數學著作。唐代曾在國子監中設立算學館，以李淳風等註釋的十部算經作為教本，用以進行數學教育和考試。這十部算經是：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》。

北宋雕板印刷術甚為發達，曾將十部算經刊刻發行(1084)，這是世界上最早的印刷本數學書。但此時《綴術》已經失傳，實際刊刻的只有九種。到南宋時期，又進行了一次翻刻(1213)，在這次南宋翻刻本中則是用《數術記遺》替代了已失傳的《綴術》。

在明代，由於不夠重視以及其他的社會原因，這十部算經幾乎失傳。直到清乾隆年間，由於《四庫全書》的編輯和乾嘉學派的興起，十部算經才被重新整理出版。當時發現流傳下來的南宋刻本(均係孤本)有《周髀》、《九章》(只有前五章，殘)、《孫子》、《五曹》、《夏侯陽》、《張丘建》等七種，其影抄本呈入清宮，收藏於北京故宮博物院。其後，除了《夏侯陽》一種又不知去向外，其餘六種南宋刻本經歷代藏書家收藏流傳至今，存於上海圖書館和北京大學圖書館。

清代學者戴震在參加編輯《四庫全書》時，又由明代《永樂大典》中抄出《周髀》、《九章》、《孫子》、《五曹》、《夏侯陽》、《海島》、《五經》等七種，由影宋抄本中抄出《張丘建》、《緝古》二種，《記遺》是由明刻本抄出，十部算經於是都被抄入《四庫全書》。由《永樂大典》中抄出的七種還曾用武英殿聚珍版刊印。

1773年孔繼涵以戴震的校訂本為主，將十部算經刻入《微波榭叢書》之中，題名為《算經十書》。這是《算經十書》名稱的首次出現。

因此，《算經十書》按狹義的理解，是專指孔刻《微波榭叢書》之一的書名﹔按廣義的理解，則是指上述漢唐千餘年間陸續出現的十部算書。通常都是按廣義來理解。

《算經十書》較完備地體現了中國古代數學各方面的內容。其中大多數還曾傳入朝鮮和日本，成了他們進行數學教育和考試的教科書。

下面是《算經十書》收入的各種算經。

《周髀算經》 中國流傳至今的一部最早的數學著作，同時也是一部天文學著作。中國古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文學共有三家學說，“蓋天說”是其中之一，而《周髀算經》是“蓋天說”的代表。這派學說主張：天象蓋笠，地法覆盆(天空如斗笠，大地像翻扣的盆)。

據考證，現傳本《周髀算經》大約成書於西漢時期(公元前 1世紀)。南宋時的傳刻本(1213)是目前傳世的最早刻本，收藏於上海圖書館。歷代許多數學家都曾為此書作註，其中最著名的是唐李淳風等人所作的註。《周髀算經》還曾傳入朝鮮和日本，在那裡也有不少翻刻註釋本行世。

從所包含的數學內容來看，書中主要講述了學習數學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較複雜的分數計算等。

《九章算經》 通稱《九章算術》，是中國古代《算經十書》中最重要的一種。如同歐幾里得《幾何原本》對其後西方數學發展所起的重要影響一樣，《九章算術》對中國古代數學發展的影響也是極為巨大的。

據考證，《九章算術》大約成書於公元1世紀。它匯總了戰國和西漢時期數學發展的成果，又幾經增刪而最後成書。

《九章算術》全書共分九章，收有 246個數學問題。這九章的章名分別是:“方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”、“勾股”。其中的問題大都與當時實際的社會生活密切聯繫。

從其所包含的數學內容來看，《九章算術》的主要成就是在算術和代數方面。在算術方面，《九章算術》給出系統的關於分數運算的數學方法，此外各種比例問題和“盈不足術”等等也都是重要的成就。代數方面的成就有：聯立一次方程組的解法、負數概念的引入和正負數加減法法則，這在世界數學史上都是最早的﹔此外還有開方、開立方和一般二次方程的解法等等。

在中國古代，有不少人曾對《九章算術》進行校註。其中，魏晉時劉徽和唐代李淳風的註釋都很有名，並與《九章算術》一道流傳至今。《九章算術》的南宋刻本，保存在上海圖書館。從20世紀中葉起，作為世界古代科學名著，《九章算術》陸續被譯成俄文、德文、日文和法文等各種文字。

《孫子算經》 共三卷，作者及成書年代均不可詳考。在《張丘建算經》、《夏侯陽算經》二書的序中都曾提到《孫子算經》，可見其成書年代大約是早於這二種著作的。

《孫子算經》上卷較系統的敘述了算籌記數法和籌算的乘、除、開方以及分數等計算的步驟和法則。這在中國古算書中，都是些僅見的寶貴資料。下卷第26題則是著名的“物不知數”問題(通常被稱作“孫子問題”)，是求解一次同餘式問題。這問題和古代編製曆法過程中的計算“上元積年”的算法有密切聯繫。這一算法，到宋代，發展成為求解一次同餘式的普遍解法──大衍求一術。

《孫子算經》的南宋刻本，收藏於上海圖書館。

《五曹算經》 北周甄鸞所著。甄鸞通曆法，曾編《天和曆》，於566年頒行。“五曹”是指五類官員。其中“田曹”所收的問題是各種田畝面積的計算，“兵曹”是關於軍隊配置、給養運輸等的軍事數學問題，“集曹”是貿易交換問題，“倉曹”是糧食稅收和倉窖體積問題，“金曹”是絲織物交易等問題。全書共收67個問題，其數學內容沒有超出《九章算術》的內容。其南宋刻本，收藏於北京大學圖書館。

《夏侯陽算經》 作者及寫作年代均不可考。《張丘建算經》序中曾提及此書，因此它可能要稍早一些。

但就現傳本《夏侯陽算經》而論，其中卻包含有8世紀以後，即唐代中葉以後頒行的稅收制度，因此可以說它包括有4～8世紀的各種問題，是後人託古而作的一部偽書。

全書共三卷，收有83個數學問題。內容與《孫子算經》相類似。

《張丘建算經》 作者和寫作時代均不可考，據推斷，它大約是5世紀中葉南北朝時期的一部著作。此書的南宋刻本，收藏於上海圖書館。

全書分三卷，卷中之尾和卷下之首殘缺，現傳本還留下92問。《張丘建算經》的內容，除《九章算術》已有的之外，有等差級數問題、二次方程問題，特別是不定方程問題等，都是值得特別予以指出的。

《海島算經》 魏晉時劉徽註，最早是附於他所註《九章算術》(註於263年)之後的，唐初開始單行，第一題是測算海島的高、遠問題，因此得名。現傳本係清編《四庫全書》時抄自《永樂大典》、全書共有9題，都是利用測量(二次或多次)來計算高深廣遠的問題，是中國最早的一部測量數學專著，也是中國古代高度發達的地圖學的數學基礎。

《五經算術》 北周甄鸞所著，共二卷。書中對《易經》、《詩經》、《尚書》、《周禮》、《儀禮》、《禮記》、《論語》、《左傳》等儒家經典及其古註中與數字有關的地方詳加註釋，對研究經學的人或可有一定的幫助，但就數學的內容而論，其價值有限。現傳本亦係抄自《永樂大典》。

《數術記遺》 現傳本雖記為漢徐岳著，甄鸞註，但實際很可能就是甄鸞自著自註的。此書甚短，除了關於大數記法的討論之外，還列舉了14種不同的記數法，其中包括古代通用的籌算。《數術記遺》本不屬唐代立於官學的十部算書，南宋刻書時因《綴術》已失傳，它便被補入充數。

《緝古算經》 唐代王孝通所著(約7世紀初)，一卷，共收入20個問題，但在現傳本中，後四問已殘缺不全。現傳最早的版本是一部明代的影宋抄本，收藏在北京故宮博物院。

書中最重要的內容是關於修築兩端寬狹不一致、高低不同的堤壩的問題，還有已知體積反求邊長等問題。在這裡，《緝古算經》在中國數學史上第一次提出並解決了需要求解三次方程的問題。由於王孝通還沒有掌握用設未知數列方程的方法(即後來在宋代方才出現的“天元術”)，《緝古算經》中列方程時仍是使用了較為複雜的幾何方法。

《緝古算經》中所列出的三次方程，共有28個。王孝通所列方程的係數也還只限於是正數，求得的解也只有正根。

《緝古算經》

《緝古算經》，原名《緝古算術》，唐初數學家王孝通撰。成書年代約在武德九年〔626年〕前。後被列入算經十書，改名爲《緝古算經》。王孝通，孝通初官算曆博士，繼爲太史丞。嚐於武德六年(六二三)、九年 (六二五) 兩次校勘傅仁鈞所編「戊寅元曆」，駁正錯誤三十餘條。所撰緝古算經，包括二十個問題，除第一題是計算月亮方位的天文曆法方面的問題外，第二至五題是修築台、堤、河道等計算問題，第六至十四題是各種糧倉、糧窖的修築問題，第十五至二十題都是和直角三角形有關的所謂句股問題。現傳本中 (明毛晉汲古閣影抄南宋本)，第十七、十八、十九、二十等四問題已殘缺不全。緝古算經最重要的内容，是關於修築兩端寬狹不一，且高低不同的堤壩之類的問題。孝通從對幾何圖形的認識列出系數一元三次方程式，並完成所謂「帶從開立方」解法。全書二十個問題中，列出的三次方程式多達二十八個。惟所列方程的系數和解出的根，都限於正數。到十一至十三世紀，中國數學在求解方程的方法方面又有顯着的進步，不但可求解任意商次方程，系數亦不限於正數，更有完整的列方程方法。

　　《緝古算經》一書在中國數學史上有重要影響，王孝通在書中將幾何問題代數化，在世界上首次系統地創立三次多項式方程，對代數學的發展，有重要意義。

　　《緝古算經》在唐代就有抄本，宋元豐七年（1084年）有祕書監趙彥若等校定刊本，但到明代，刊本幾乎遺失，僅存章丘李開先所藏一部南宋刊本。清代毛晉穫得《緝古算經》，影抄傳世。《緝古算經》影抄本後歸常熟毛扆汲古閣收藏；清乾隆年間孔繼涵得毛扆汲古閣所藏宋元豐七年《緝古算經》影抄本和其他算書六種，連同戴東原從永樂大典中編輯出的《海島算經》等書合爲十部，一同刻印刊行；孔繼涵所刻《緝古算經》，世稱爲微波謝本。同時《四庫全書》又收入吏部侍郎王傑所藏《緝古算經》的毛晉影抄本。微波謝本後佚，影抄本現存北京故宮博物院。清代中期，研究《緝古算經》之風盛行，先後有李潢《緝古算經考注》二卷，張敦仁《緝古算經細草》一卷，陳傑《緝古算經細草》一卷，《緝古算經注》二卷，《緝古算經音義》一卷，及按微波謝本抄錄的《緝古算經經文》一卷；揭廷鏘《緝古算經考注圖草》一卷。1963年中華書局出版錢寶琮校點多《算經十書》，其中包括《緝古算經》。

簡介

《緝古算經》，略稱《緝古》，一卷。一本作上、中、下三卷。唐初王孝通撰。成於武德九年(六二六)之前。唐時列爲國子監算學諸生必讀的「十部算經」之一。通行本有：清《四庫全書》本、《微波榭算經十書》本、《知不足齋叢書》本、《白芙堂算學叢書》本、近代《叢書集成》本、一九六三年中華書局版錢寶琮校點《算經十書》本等。

　　王孝通，生平事蹟不詳。據《新唐書·曆志》及其自撰的「上緝古算經表」，知其出身平民，少小學算，曾在隋朝爲官，後入唐任算曆博士、通直郎太史丞。武德六年(六二三)曾與吏部郎中祖孝孫一起，批評當時頒行的傅仁均《戊寅元曆》。武德九年(六二六)又同大理卿崔善爲一起，對《戊寅元曆》作了許多校正工作。他對自己的《緝古算經》非常自信，在其「上緝古算經表」中說：「請訪能算之人，考論得失。如有排其一字，臣欲謝以千金。」

　　今本《緝古算經》卷首有「上緝古算經表。」全書亦采取問題集的形式，共二十個應用問題(最後三題有缺字)，每題分爲問(問題)、答(答案)、術(算法)三個部份。第一題是已知日月合朔時刻及夜半時日所在赤道經度，求夜半時月所在赤道經度。術用《九章算術》「均輸章」中犬追兔問題解法，使其對這個天文問題的解答比以往的舊法簡捷。第二至六題和第八題，是關於土木工程中的土方體積問題。這些問題中不僅要求根據工程的具體情況計算體積和長、寬、高的尺寸，而且還要由已知某一部份工程體積來返求這部份的長、寬、高尺寸。這就需要列出一個三次方程，並用開帶從立方法求解。第七題及第九至十四題，是已知倉房和地窖等的容量，根據題設尺寸間的大小關係返求各邊綫尺寸，也歸結爲三次方程求解。第十五至二十題是勾股問題。其中前四題要用到三次方程，後兩題要用到四次方程。不過這兩個四次方程都可先開帶從平方得一正根，再開平方得所求的勾或股，即屬於現今所謂「雙二次方程」。

　　《緝古算經》的大部份問題都要用高次方程(主要是三次方程)來解決，這在當時是高深而先進的數學成果。在古代，由於沒有現代的數學符號，要從實際問題列高次方程，非常困難。王孝通在每一條有關高次方程的術文之下，都用自注來說明方程的各項系數的來曆。他在依據實際問題列高次方程方面的出色的工作，是中國數學史上的一個重要進步。《緝古算經》是有關這一數學成果的最早記叙，在世界數學史上也是關於三次方程數值解法及其應用的最古老的珍貴着作。

　　在複雜的體積計算方法上，王孝通也有深入的研究。他在「上緝古算經表」中說：「伏尋《九章》商功篇有平地役功受袤之術。至於上寬下狹，前高後卑，正經之内，闕而不論。致使今代之人不達深理，就平正之間欹邪之用。斯乃圓孔方枘，如何可安?臣晝思夜想，臨書浩歎，恐一旦瞑目，將來莫睹。遂於平地之餘，續狹斜之法。」其書中以第三題「堤積問題」爲代表的體積計算，確實是既繁複而又正確的。

　　《緝古算經》中關於高次方程的數學内容，對後世數學影響很大。宋元時期的數學家們在此基礎上繼續深入研究，終於發明了「天元術」和「四元術」，建立並完善了高次方程的布列方法和數值解法，達到了中國古代代數學的高峰。《緝古算經》在這一方面的開啟之功，是不容忽視的。

　　後世對《緝古算經》的研究，有清張敦仁的《緝古算經細草》和劉衡的《緝古算經補注》等。張敦仁不僅給出了每題的細草(多用天元術解之)，而且對最後三題缺佚的原文作了補全。

原文

上輯古算經表

　　臣孝通言：臣聞九疇載叙，紀法着於彝倫；六藝成功，數術參於造化。夫爲君上者，司牧黔首，布神道而設教，采能事而經綸，盡性窮源，莫重於算。昔周公制禮，有九數之名。竊尋九數，即《九章》是也。其理幽而微，其形祕而約，重句聊用測海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與於此者？漢代張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同。魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更爲之注。徽思極毫芒，觸類增長，乃造重差之法，列於終篇。雖即未爲司南，然亦一時獨步。自茲厥後，不斷前蹤。賀循、徐嶽之徒，王彪、甄鸞之輩，會通之數無聞焉耳。但舊經殘駁，尚有闕漏，自劉已下，更不足言。其祖恒之《綴術》，時人稱之精妙，曾不覺方邑進行之術，全錯不通；芻亭方亭之問，於理未盡。臣今更作新術，於此附伸。臣長自閭閻，少小學算。鐫磨愚鈍，迄將皓首。鑽尋祕奧，曲盡無遺。代乏知音，終成寡和。伏蒙聖朝收拾，用臣爲太史丞，比年已來，奉敕校勘傅仁均曆，凡駁正術錯三十餘道，即付太史施行。伏尋《九章·商功篇》有平地役功受袤之術，至於上寬下狹、前高後卑，正經之内，闕而不論，致使今代之人不達深理，就平正之門，同欹邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？臣晝思夜想，臨書浩歎，恐一旦瞑目，將來莫睹，遂於平地之餘，續狹斜之法，凡二十術，名曰《緝古》。請訪能算之人，考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金。輕用陳聞，伏深戰悚。謹言。

緝古算經

　　假今天正十一月朔夜半，日在鬥十度七百分度之四百八十。以章歲爲母，朔月行定分九千，朔日定小餘一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？（推朔夜半月度，舊術要須加時日度。自古先儒雖複修撰改制，意見甚眾，並未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐後代無人知者。今奉敕造曆，因即改制，爲此新術。舊推日度之術，巳得朔夜半日度，仍須更求加時日度，然知月處。臣今作新術，但得朔夜半日度，不須加時日度，即知月處。此新術比於舊術，一年之中十二倍省功，使學者易知）

　　答曰：在鬥四度七百分度之五百三十。

　　術曰（推朔夜半月度，新術不複加時日度，有定小餘乃可用之）：以章歲減朔月行定分，餘以乘朔日定小餘，滿日法而一，爲先行分。不盡者，半法已上收成一，已下者棄之。若先行分滿日行分而一，爲度分，以減朔日夜半日所在度分，若度分不足減，加往宿度；其分不足減者，退一度爲行分而減之，餘即朔日夜半月行所在度及分也（凡入曆當月行定分，即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一，爲度。凡日一日行一度。然則章歲者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均輸篇》有犬追兔術，與此術相似。彼問：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，問幾何步追及？答曰：二百五十步追及。彼術曰：以兔走減犬走，餘者爲法。又以犬走乘兔先走，爲實。實如法而一，即得追及步數。此術亦然。何者？假令月行定分九千，章歲七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行數相減，餘八千三百分者，是日先行之數。然月始追之，必用一日而相及也。令定小餘者，亦是日月相及之日分。假令定小餘一萬，即相及定分，此乃無對爲數。其日法者，亦是相及之分。此又同數，爲有八千三百，是先行分也。斯則異矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之時日在月前、月在日後，以日月相去之數四千一百五十減日行所在度分，即月夜半所在度分也）。

　　假令太史造仰觀台，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役台畢。羨道從台南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉，乙縣四十三鄉，每鄉别均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀台，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。台自下基給高，道自初登給袤。問：台道廣、高、袤及縣别給高、廣、袤各幾何？

　　答曰：

　　台高一十八丈

　　上廣七丈，

　　下廣九丈，

　　上袤一十丈，

　　下袤一十四丈；

　　甲縣給高四丈五尺，

　　上廣八丈五尺，

　　下廣九丈，

　　上袤一十三丈，

　　下袤一十四丈；

　　乙縣給高一十三丈五尺，

　　上廣七丈，

　　下廣八丈五尺，

　　上袤一十丈，

　　下袤一十三丈；

　　羨道高一十八丈，

　　上廣三丈六尺，

　　下廣二丈四尺，

　　袤一十四丈；

　　甲縣鄉人給高九丈，

　　上廣三丈，

　　下廣二丈四尺，

　　袤七丈；

　　乙縣鄉人給高九丈，

　　上廣三丈六尺，

　　下廣三丈，

　　袤七丈。

　　術曰：以程功尺數乘二縣人，又以限日乘之，爲台積。又以上下袤差乘上下廣差，三而一，爲隅陽冪。以乘截高，爲隅陽截積。又半上下廣差，乘斬上袤，爲隅頭冪。以乘截高，爲隅頭截積。並二積，以減台積，餘爲實。以上下廣差並上下袤差，半之，爲正數，加截上袤，以乘截高，所得增隅陽冪加隅頭冪，爲方法。又並截高及截上袤與正數，爲廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得台下廣及上下袤、高。

　　求均給積尺受廣袤，術曰：以程功尺數乘乙縣人，又以限日乘之，爲乙積。三因之，又以高冪乘之，以上下廣差乘袤差而一，爲實。又以台高乘上廣，廣差而一，爲上廣之高。又以台高乘上袤，袤差而一，爲上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高，三之，爲方法。又並兩高，三之，二而一，爲廉法，從。開立方除之，即乙高。以減本高，餘即甲高。此是從下給台甲高。又以廣差乘乙高，以本高而一，所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上廣、袤即乙下廣、袤，台上廣、袤即乙上廣、袤。其後求廣、袤，有增損者，皆放此（此應六因乙積，台高再乘，上下廣差乘袤差而一。又以台高乘上廣，廣差而一，爲上廣之高。又以台高乘上袤，袤差而一，爲上袤之高。以上廣之高乘上袤之高，爲小冪二。因下袤之高，爲中冪一。凡下袤、下廣之高，即是截高與上袤與上廣之高相連並數。然此有中冪定有小冪一。又有上廣之高乘截高，爲冪一。又下廣之高乘下袤之高，爲大冪二。乘上袤之高爲中冪一。其大冪之中又小冪一，複有上廣、上袤之高各乘截高，爲中冪各一。又截高自乘，爲冪一。其中冪之内有小冪一。又上袤之高乘截高，爲冪一。然則截高自相乘，爲冪二，小冪六。又上廣、上袤之高各三，以乘截高，爲冪六。令皆半之，故以三乘小冪。又上廣、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，諸冪乘截高爲積尺）。

　　求羨道廣、袤、高，術曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉，又六因，爲積。又以道上廣多下廣數加上廣少袤，爲下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，爲下廣少高。以乘下廣少袤，爲隅陽冪。又以下廣少上廣乘之，爲鱉隅積。以減積，餘三而一，爲實。並下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，鱉從横廉冪。三而一，加隅冪，爲方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下廣少高加之，爲廉法，從。開立方除之，即下廣。加廣差，即上廣。加袤多上廣於上廣，即袤。加高多袤，即道高。

　　求羨道均給積尺甲縣受廣、袤，術曰：以均賦常積乘甲縣上十三鄉，又六因，爲積。以袤再乘之，以道上下廣差乘台高爲法而一，爲實。又三因下廣，以袤乘之，如上下廣差而一，爲都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘甲袤，本袤而一，以下廣加之，即甲上廣。又以台高乘甲袤，本袤除之，即甲高。

　　假令築堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九鬥二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八鬥。古人負土二鬥四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道隻有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當四，下山六當五，水行一當二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功爲均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，並每人一日自穿、運、築程功，及堤上、下高、廣各幾何？

　　答曰：

　　一人一日自穿、運、築程功四尺九寸六分；

　　西頭高三丈四尺一寸，

　　上廣八尺，

　　下廣七丈六尺二寸，

　　東頭高三尺一寸，

　　上廣八尺，

　　下廣一丈四尺二寸，

　　正袤四十八丈，

　　斜袤四十八丈一尺；

　　甲縣正袤一十九丈二尺，

　　斜袤一十九丈二尺四寸，

　　下廣三丈九尺，

　　高一丈五尺五寸；

　　乙縣正袤一十四丈四尺；

　　斜袤一十四丈四尺三寸，

　　下廣五丈七尺六寸，

　　高二丈四尺八寸；

　　丙縣正袤九丈六尺，

　　斜袤九丈六尺二寸，

　　下廣七尺，

　　高三丈一尺；

　　丁縣正袤四丈八尺，

　　斜袤四丈八尺一寸，

　　下廣七丈六尺二寸，

　　高三丈四尺一寸。

　　求人到程功運築積尺，術曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟躕之間十加一，載輸一十四步，一返計一百二十四步。以古人負土二鬥四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，爲實。卻以一返步爲法。除，得自運土到數也。又以一到負土數乘之，卻以穿方一尺土數除之，得一人一日運動積。又以一人穿土九石九鬥二升，以穿方一尺土數除之，爲法。除之，得穿用人數。複置運功積，以每人一日常積除之，得築用人數。並之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。

　　求堤上、下廣及高、袤，術曰：一人一日程功乘總人，爲堤積。以高差乘下廣差，六而一，爲鱉冪。又以高差乘小頭廣差，二而一，爲大臥塹頭冪。又半高差，乘上廣多東頭高之數，爲小臥塹頭冪。並三冪，爲大小塹鱉率。乘正袤多小高之數，以減堤積，餘爲實。又置半高差及半小頭廣差與上廣多小頭高之數，並三差，以乘正袤多小頭高之數。以加率爲方法。又並正袤多小頭高、上廣多小高及半高差，兼半小頭廣差加之，爲廉法，從。開方立除之，即小高。加差，即各得廣、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，並，而開方除之，即斜袤。

　　求甲縣高、廣、正、斜袤，術曰：以程功乘甲縣人，以六因取積，又乘袤冪。以下廣差乘高差爲法除之，爲實。又並小頭上下廣，以乘小高，三因之，爲垣頭冪。又乘袤冪，如法而一，爲垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，爲都廉，從。開立方除之，得小頭袤，即甲袤。又以下廣差乘之，所得以正袤除之，所得加東頭下廣，即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤，以正袤除之，以加東頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤東頭高減甲高，餘自乘，並二位，以開方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣爲後小高、主廉母自乘，爲方母。廉母乘方母，爲實母（此平堤在上，羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝，中一塹堵。今以袤再乘六因積，廣差乘袤差而一，得截鱉腝袤，再自乘，爲立方一。又塹堵袤自乘，爲冪一。又三因小頭下廣，大袤乘之，廣差而一，與冪爲高，故爲廉法。又並小頭上下廣，又三之，以乘小頭高爲頭冪，意同六除。然此頭冪，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今還依數乘除一頭冪，爲從。開立方除之，得截袤）。

　　求堤都積，術曰：置西頭高，倍之，加東頭高，又並西頭上下廣，半而乘之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又並東頭上下廣，半而乘之。並二位積，以正袤乘之，六而一，得堤積也。

　　假令築龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共築。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣别給高、袤、廣各多少。

　　答曰：

　　高三丈，

　　上廣三丈四尺，

　　下廣一丈八尺，

　　袤六丈六尺；

　　甲縣高一丈五尺，

　　袤三丈三尺，

　　上廣二丈一尺；

　　乙縣高二丈一尺，

　　袤一丈三尺二寸，

　　上廣二丈二尺二寸；

　　丙縣高三丈，袤一丈九尺八寸，

　　上廣二丈四尺。

　　求龍尾堤廣、袤、高，術曰：以程功乘總人，爲堤積。又六因之，爲虛積。以少高乘少袤，爲隅冪。以少上廣乘之，爲鱉隅積。以減虛積，餘，三約之，所得爲實。並少高、袤，以少上廣乘之，爲鱉從横廉冪。三而一，加隅冪，爲方法。又三除少上廣，以少袤、少高加之，爲廉法，從。開立方除之，得下廣。加差，即高、廣、袤。

　　求逐縣均給積尺受廣、袤，術曰：以程功乘當縣人，當積尺。各六因積尺。又乘袤冪。廣差乘高，爲法。除之，爲實。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，爲都廉，從。開立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加末廣，即甲上廣。其甲上廣即乙末廣，其甲高即垣高。求實與都廉，如前。又並甲上下廣，三之，乘甲高，又乘袤冪，以法除之，得垣方，從。開立方除之，即乙袤。餘放此（此龍尾猶羨除也。其塹堵一，鱉腝一，並而相連。今以袤再乘積，廣差乘高而一，所得截鱉腝袤再自乘，爲立方一。又塹堵袤自乘，爲冪一。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，與冪爲高，故爲廉法）。

　　假令穿河，袤一里二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五釐，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，並漘上廣各多少？

　　答曰：

　　漘上廣五丈八尺二寸一分；

　　甲郡正袤一百四十四丈，

　　斜袤一百四十四丈三尺，

　　上廣二十六丈四寸，

　　深一十一丈一尺六寸；

　　乙郡正袤一百一十五丈二尺，

　　斜袤一百一十五丈四尺四寸，

　　上廣四十丈九尺二寸，

　　深一十八丈六尺；

　　丙郡正袤五十七丈六尺，

　　斜袤五十七丈七尺二寸，

　　上廣四十八丈三尺六寸，

　　深二十二丈三尺二寸，

　　丁郡正袤二十八丈八尺，

　　斜袤二十八丈八尺六寸，

　　上廣五十二丈八寸，

　　深二十四丈一尺八寸。

　　術曰：如築堤術入之（覆堤爲河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，爲積。又六因，以乘袤冪。以上廣差乘深差，爲法。除之，爲實。又並小頭上、下廣，以乘小頭深，三之，爲垣頭冪。又乘袤冪，以法除之，爲垣方。三因小頭上廣，以乘正袤，以廣差除之，爲都廉，從。開立方除之，即得小頭袤，爲甲袤。求深、廣，以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭上廣，即甲上廣。以小頭深減南頭深，餘以乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，並，而開方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、廣爲後小深、廣，准甲求之，即得。

　　求漘上廣，術曰：以程功乘總人，又以限日乘之，爲積。六因之，爲實。以正袤除之，又以高除之，所得以下廣減之，餘又半之，即漘上廣。

　　假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功爲均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六鬥，乙郡輸粟三萬四千九百五石六鬥，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四鬥，丁郡輸粟一萬四千七十八石四鬥。四郡共穿窖，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負、築，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡别出人及窖深、廣各多少？

　　答曰：

　　窖上廣八丈，

　　上袤九丈，

　　下廣一十丈，

　　下袤一十二丈，

　　深三丈；

　　甲郡八千七十二人，

　　深一十二尺，

　　下袤一十丈二尺，

　　廣八丈八尺；

　　乙郡七千二百七十二人，

　　深九尺，

　　下袤一十一丈一尺，

　　廣九丈四尺；

　　丙郡五千四百七十三人，

　　深六尺，下袤一十一丈七尺，

　　廣九丈八尺；

　　丁郡二千九百三十三人，

　　深三尺，

　　下袤一十二丈，

　　廣一十丈。

　　求窖深、廣、袤，術曰：以斛法乘總粟，爲積尺。又廣差乘袤差，三而一，爲隅陽冪。乃置塹上廣，半廣差加之，以乘塹上袤，爲隅頭冪。又半袤差，乘塹上廣，以隅陽冪及隅頭冪加之，爲方法。又置塹上袤及塹上廣，並之，爲大廣。又並廣差及袤差，半之，以加大廣，爲廉法，從。開立方除之，即深。各加差，即合所問。

　　求均給積尺受廣、袤、深，術曰：如築台術入之。以斛法乘甲郡輸粟，爲積尺。又三因，以深冪乘之，以廣差乘袤差而一，爲實。深乘上廣，廣差而一，爲上廣之高。深乘上袤，袤差而一，爲上袤之高。上廣之高乘上袤之高，三之，爲方法。又並兩高，三之，二而一，爲廉法，從。開立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以廣差乘之，本深除之，所得加上廣，即甲下廣。若求乙、丙、丁，每以前下廣、袤爲後上廣、袤，以次皆准此求之，即得。若求人數，各以程功約當郡積尺。

　　假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二鬥。今已運出五十石四鬥。問：倉上下方、高及餘粟深、上方各多少？

　　答曰：

　　上方三尺，

　　下方九尺，

　　高一丈二尺；

　　餘粟深、上方俱六尺。

　　求倉方、高，術曰：以斛法乘容粟，爲積尺。又方差自乘，三而一，爲隅陽冪。以乘截高，以減積，餘爲實。又方差乘截高，加隅陽冪，爲方法。又置方差，加截高，爲廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。

　　求餘粟高及上方，術曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高冪，令方差冪而一，爲實（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高與小高並）。高乘上方，方差而一，爲小高。令自乘，三之，爲方法。三因小高，爲廉法，從。開立方除之，得取出高。以減本高，餘即殘粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即餘粟上方（此本術曰：上下方相乘，又各自乘，並以高乘之，三而一。今還元，三之，又高冪乘之，差冪而一，得大小高相乘，又各自乘之數。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然則斯本下方自乘，故須高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之數。小高亦然。凡大高者，即是取高與小高並相連。今大高自乘爲大方。大方之内即有取高自乘冪一，隅頭小高自乘冪一。又其兩邊各有以取高乘小高，爲冪二。又大小高相乘，爲中方。中方之内即有小高乘取高冪一。又小高自乘，即是小方之冪又一。則小高乘大高，又各自乘三等冪，皆以乘取高爲立積。故三因小冪爲方，及三小高爲廉也）。

　　假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺，限八日役。自穿築，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？

　　答曰：

　　高四丈八尺，

　　上廣三丈六尺，

　　袤六丈六尺。

　　求甲縣均給積尺受廣、袤，術曰：以程功乘乙縣人數，又以限日乘之，爲積尺。以六因之，又高冪乘之，又袤差乘廣而一，所得又半之，爲實。高乘上袤，袤差而一，爲上袤之高。三因上袤之高，半之，爲廉法，從。開立方除之，得乙高。以減甍高，餘即甲高。求廣、袤，依率求之（此乙積本倍下袤，上袤從之。以下廣及高乘之，六而一，爲一甍積。今還元須六因之，以高冪乘之，爲實。袤差乘廣而一，得取高自乘以乘三上袤之高，則三小高爲廉法，各以取高爲方。仍有取高爲立方者二，故半之，爲立方一。又須半廉法）。

　　假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六鬥。今已運出二百六十六石四鬥。問：殘粟去口、上下周、高各多少？

　　答曰：

　　一周一丈八尺，

　　下周三丈，

　　高三丈六尺，

　　去口一丈八尺，

　　粟周二丈四尺。

　　求圓囤上下周及高，術曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，爲方亭之積。又以周差自乘，三而一，爲隅陽冪。以乘截高，以減亭積，餘爲實。又周差乘截高，加隅陽冪，爲方法。又以周差加截高，爲廉法，從。開立方除之，得上周。加差，而合所問。

　　求粟去口，術曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高冪，如周差冪而一，爲實。高乘上周，周差而一，爲小高。令自乘，三之，爲方法。三因小高，爲廉法，從。開立方除之，即去口（三十六乘訖，即是截方亭，與前方窖不别）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。

　　假令有粟二萬三千一百二十斛七鬥三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？

　　答曰：

　　倉方四丈五尺三寸（容粟一萬二千七百二十二斛九鬥五升八合），

　　窖徑四丈六尺二寸（容粟一萬三百九十七石七鬥七升二合），

　　高與深各一丈五尺五寸。

　　求方、徑高深，術曰：十四乘斛法，以乘粟數，二十五而一，爲實。又倍多加少，以乘少數，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，爲方法。又倍少數，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，爲廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟爲積尺。前一十四馀，今還元，一十四乘。爲徑自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故並之爲二十五。凡此方、圓二徑長短不同，二徑各自乘爲方，大小各别。然則此塹方二丈九尺八寸，塹徑三丈七寸，皆成方面。此應塹方自乘，一十四乘之；塹徑自乘，一十一乘之，二十五而一，爲隅冪，即方法也。但二隅冪皆以塹數爲方面。今此術就省，倍小隅方，加差爲矩袤，以差乘之爲矩冪。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之數，即是方圓之隅同有此數，若二十五乘之，還須二十五除。直以差自乘加之，故不複乘除。又須倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，爲廉法，不複二十五乘除之也）。

　　還元，術曰：倉方自乘，以高乘之，爲實。圓徑自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，爲實。皆爲斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。

　　假令有粟一萬六千三百四十八石八鬥，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少於圓徑一丈，多於高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？

　　答曰：

　　方一丈八尺，

　　高深一丈三尺，

　　圓徑二丈八尺。

　　術曰：以一十四乘斛法，以乘粟數，如八十九而一，爲實。倍多加少，以乘少數，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，爲方法。又倍少數，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，爲廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟，爲徑自乘及方自乘數與前同。今方倉四，即四因十四。圓窖三，即三因十一。並之，爲八十九，而一。此塹徑一丈五尺，塹方五尺，以高爲立方。自外意同前）。

　　假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方於窖深二尺，少於倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、高、深各多少？

　　答曰：

　　方、徑各一丈六尺，

　　高一丈九尺，

　　深一丈四尺。

　　術曰：三十五乘粟，二十五而一，爲率。多自乘，以並多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以減率，餘爲實。並多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，爲方法。又並多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，爲廉法，從。開立方除之，即窖深。各加差，即方、徑、高（截高五尺，塹徑及方二尺，以深爲立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘並多少乘之，爲截高隅積，即二廉，方各二尺，長五尺。自外意旨皆與前同）。

　　假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面於圓徑等，兩深亦同，其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、深各多少？

　　答曰：

　　上方、徑各七尺，

　　下方、徑各二丈八尺，

　　深各二丈一尺。

　　術曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，爲方亭積。令方差自乘，三而一，爲隅陽冪，以截多乘之，減積，餘爲實。以多乘差，加冪，爲方法。多加差，爲廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，並以乘高，爲虛。命三而一，爲方亭積。若圓亭上下徑相乘，又各自乘，並以乘高，爲虛。又十一乘之，四十二而一，爲圓亭積。今方、圓二積並在一處，故以四十二複乘之，即得圓虛十一，方虛十四，凡二十五，而一，得一虛之積。又三除虛積，爲方亭實。乃依方亭複問法，見上下方差及高差與積求上下方高術入之，故三乘，二十五而一）。

　　假令有粟二萬六千三百四十二石四鬥，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問上下方、深數各多少？

　　答曰：

　　方窖上方七尺，

　　下方二丈八尺，

　　深二丈一尺，

　　圓窖上下徑、深與方窖同。

　　術曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，爲方亭積尺。令方差自乘，三而一，爲隅陽冪。以多乘之，以減積，餘爲實。以多乘差，加冪，爲方法。又以多加差，爲廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（今以四十二乘。圓虛十一者四，方虛十四者六，合一百二十八虛，除之，爲一虛之積。得者仍三而一，爲方亭實積。乃依方亭見差複問求之，故三乘，一百二十八除之）。

　　假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多於句三十六十分之九。問：三事各多少？

　　答曰：

　　句十四二十分之七，

　　股四十九五分之一，

　　弦五十一四分之一。

　　術曰：冪自乘，倍多數而一，爲實。半多數，爲廉法，從。開立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除冪，即股（句股相乘冪自乘，與句冪乘股冪積等。故以倍句弦差而一，得一句與半差之共乘句冪，爲方。故半差爲廉法，從，開立方除之。按：此術原本不全，今依句股義擬補十三字）。

　　假令有句股相乘冪四千三十六五分之□，股少於弦六五分之一。問：弦多少？（按：此問原本缺二字，今依文補一股字，其股字上之□系所設分數，未便懸擬，今姑闕之）。

　　答曰：弦一百一十四十分之七。

　　術曰：冪自乘，倍少數而一，爲實。半少，爲廉法，從。開立方除之，即股。加差，即弦。

　　假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？

　　答曰：九十二五分之二。

　　術曰：冪自乘，倍多而一，爲立冪。又多再自乘，半之，減立冪，餘爲實。又多數自乘，倍之，爲方法。又置多數，五之，二而一，爲廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差□□□□□爲方令多再自乘半之爲隅□□□□□横虛二立廉□□□□□□□□□□□倍之爲從隅□□□□□□□□□□□多爲上廣即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。

　　案：此術脱簡既多，法亦煩擾，宜雲冪自乘，多數而一，所得四之，爲實。多爲廉法，從。立方開之，得減差，半之，即股（冪自乘，與勾冪弦冪相乘積等。令勾冪變爲股弦並乘股弦差，故差而一，所得乃股弦並乘弦冪）。

　　假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？

　　答曰：六十八。

　　術曰：冪自乘，倍少數而一，爲立冪。又少數再自乘，半之，以減立冪，餘爲實。又少數自乘，倍之，爲方法。又置少數，五之，二而一，爲廉法，從。開立方除之，即句。加差，即弦。弦除冪，即股。

　　假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？

　　答曰：股二十六五分之二。

　　術曰：冪自乘，爲實。句自乘，爲方法，從。開方除之，所得又開方，即股（□□□□□□□□□□□□□□數亦是股□□□□□□□□□□□□爲長以股□□□□□□□□□□□□得股冪又開□□□□□□□□□□□股北分母常……）

　　假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？

　　答曰：句八、五分之四。

　　術曰：冪自乘，爲實。股自乘，爲方法，從。開方除之，所得又開方，即句。

緝古算經跋

　　按《唐書·選擧志》制科之目，明算居一，其定制雲：凡算學，孫子、五曹共限一歲，九章、海島共三歲，張邱建、夏侯陽各一歲，周髀、五經算共一歲，綴術四歲，緝古三歲，記遺三等數皆兼習之。竊惟數學爲六藝之一，唐以取士共十經。周髀家塾曾刊行之，餘則世有不能擧其名者。扆半生求之，從太倉王氏得孫子、五曹、張邱建、夏侯陽四種，從章邱李氏得周髀、緝古二種，後從黄俞邰又得九章。皆元豐七年祕書省刊板，字書端楷，雕鏤精工，真世之寶也。每卷後有祕書省官銜姓名一幅，又一幅宰輔大臣，自司馬相公而下俱列名於後，用見當時鄭重若此。因求善書者刻畫影摹，不爽毫末，什襲而藏之。但焉得海島、五經、綴術三種，竟成完璧，並得好事者刊刻流布，俾數學不絕於世，所深願也。

　　康熙甲子仲秋汲古後人毛扆謹識

　　《緝古算經》，一卷，唐初王孝通撰。成書年代約在西元七世紀初期，是現有傳本的古算書中，繼《九章算術》之後具有較高水平的最重要的算經之一。《緝古算經》原名《緝古算術》，唐初納入國子監學館明算科學習書目之後，改名《緝古算經》。

　　王孝通的生卒年代不詳，生平事蹟世人所知也不多。據《上緝古算術表》，作者自稱當時他已是“迄將皓首”之人。王孝通上表的時間是在武德九年（公元626年）之後不久，可推測他大約生於北周武帝年間（561—579）。王孝通在隋朝做過官，唐初奉敕校勘過傅仁均曆。他是唐初的算曆博士，官至通直郎太史丞。嚐於武德六年(623)、九年(625)兩次校勘傅仁鈞所編“戊寅元曆”，駁正錯誤三十餘條。所撰《緝古算術》，包括二十個問題，除第一題是計算月亮方位的天文曆法方面的問題外，第二至五題是修築台、堤、河道等計算問題，第六至十四題是各種糧倉、糧窖的修築問題，第十五至二十題都是和直角三角形有關的所謂句股問題。現傳本中(明毛晉汲古閣影抄南宋本)，第十七、十八、十九、二十等四問題已殘缺不全。 《緝古算術》的編撰年代不詳，據專家考證應在武德九年之前。

　　《緝古算經》最重要的内容，是關於修築兩端寬狹不一，且高低不同的堤壩之類的問題。孝通從對幾何圖形的認識列出系數一元三次方程式，並完成所謂“帶從開立方”解法。全書二十個問題中，列出的三次方程式多達二十八個。惟所列方程的系數和解出的根，都限於正數。到十一至十三世紀，中國數學在求解方程的方法方面又有顯着的進步，不但可求解任意商次方程，系數亦不限於正數，更有完整的列方程方法。