《古代術數》

 

《古代術數》
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目錄

古代術數的數學理念
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （一）
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （二）
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （三）
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （四）
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （五）
【附錄一】
算術漫談
洛書中的數字規律
旋機在洛書中的體現
八卦中的數字規律
河圖中的數字規律
由河圖推演先天八卦
旋機在河圖中的體現
河圖洛書的仲介形式
洛書與十進制計數體系
洛書中蘊涵著天地人轉盤
河圖洛書與九數歸真
八卦的簡單立體模型
棄九驗演算法與年月日
洛書旋機與轉盤結構
洛書旋機與卍字元
洛書旋機與卍字元（續）
邵雍學說與大數計算
洛書、“卍”與珠算的運算機制
洛書卍字與黃金數列
洛書旋機與全息結構
洛書旋機與多層轉盤
洛書旋機與螺旋結構
先天八卦與轉盤結構
先天八卦與洛書轉盤
先天八卦與五行轉盤
洛書轉盤與勾股乘方
洛書旋機與九九歸真
先天八卦與後天八卦
《大衍索隱》與九宮八卦
丁易東圖與先天八卦
三千年前西周四合院
災難事件與時間巧合
歷史事件與時間序列
古代術數
丞相打卦為農民找牛
《古代術數》 全卷閱讀

一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （一）

　　梅花一點 
　　關於發現新的數學的可能
　　我們現在對於數學的理解，來自於現代科學的框框，也只是通過現代的數學來看待數學這一門學問。這種框框必然把數學當作現代自然科學的一部分來看待，也必然局限在現代自然科學研究範圍的框框中來談論、研究數學，同時，也使數學沒有逃脫現代自然科學對於自然、宇宙、生命、人類和社會歷史的局限看法，最終導致數學的研究走入了現代人研究科學的框框中——也就是認識了一種事物以後才去研究他。 
　　現代人一般是把計數和度量當作數學的全部範疇。所以，數學史家們在研究數學史的時候，一般從人類怎樣發明記數的符號和文字開始研究，然後就是關於記數的方法和各種測量的工具等等的考古發現，最後就是關於古代一些關於現代數學的定理、公式、方程式等等的發現。 
　　比如，我看了一個關於數學大事年表的排列，截取一段給大家瞧一瞧，見表： 
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時間	國家	內容
前4000	中國	西安半坡遺址出土陶器上有許多刻符，據考證有些是數字刻符。
前3000 ~前1700	巴比倫	巴比倫的數學記載：建立60進位元數目法與記數符號，使用簡單的乘法表、平方表、立方表和倒數表；出現簡單的二次方程，利用相似原理計算三角形與梯形的邊長等。
前3000	埃及	象形數位，採用10進位元記數。
前2698 ~前2357	中國	屍佼《屍子》稱：“古者倕為規、矩、准、繩，使天下放焉“。相傳倕為黃帝時代人，規、矩、准、繩雖為四種幾何工具，但可說明，當時已有方、圓、平、直等概念。
前2400 ~前1600	巴比倫	早期巴比倫泥板楔形文字，掌握某種開平方的方法，已知畢氏定理並給出若干組勾股數。
前2200	中國	據《易經》所載，有《洛書》、《河圖》等數學文獻。
前2000	中國	山東省城子崖遺址出土陶器上有數字刻符。
前1900	埃及	埃及的數學載：解形如ax^2=b的方程；出現表示加法、減法和平方根的符號；求三角形、梯形的面積和棱柱體的體積；用A=〔〔8d〕/q〕^2求圓面積〔d為直徑〕，取pi=3.16；出現含有等差數列、等比數列，比例分配等內容的問題。
前1850 ~前1650	埃及	紙草書〔莫斯科紙草書與萊茵德紙草書〕，使用10進非位值制記數法。
前1400 ~前1100	中國	周公〔西元前11世紀〕、商高時代已知畢氏定理的特例：勾三、股四、弦五。
前1400	中國	殷商時代甲骨文蔔辭中，已有十進：數位的記錄，其中最大的數位為三萬。
前600	中國	陳子已知畢氏定理的一般形式。
前600	希臘	泰勒斯將埃及的實用幾何帶入希臘，開始證明幾何命題。
前585 ~前400	希臘	畢達哥拉斯學派對數與圖形進行廣泛的探究。
前550 ~前340	中國	籌算的產生。
前550 ~前340	中國	《墨經》給出若干幾何概念和命題，因而一般認為它記載了中國最古老的幾何知識。
前550 ~前340	希臘	畢達哥拉斯學派發現畢氏定理及不可公度比；詭辦學派的尺規作圖的三大問題：齊諾的悖論；安提豐提出窮竭法；泰奧多勒斯的無理數；攸多克薩斯創比例論；亞裡斯多德創邏輯學；門內馬斯的圓錐曲線研究。

　　對於中國古代數學，中國數學史家一般以《周髀算經》為始點，認為他是中國現存最早的一部數學典籍，專家考證成書時間在周漢期間，跨度大。嚴格說來，《周髀算經》是一部天文著作，因為要討論天文曆法，而敘述了一些有關的數學知識；其中重要的題材有畢氏定理、比例測量與計算天體方位所不能避免的分數四則運算。當然，也有以《九章算術》為始點。另外，也有把20世紀80年代發現的《算術書》作為開始。 
　　再如，現代數學發現了極限理論以後，回過頭來看中國的西元前300年的莊子的一句話：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”（《莊子•天下篇》，有學者認為是無限分割理論，極限的概念不夠恰當），就認為早在莊子時代就有了極限觀念了。這就是所謂的典型的發現。也即現代科學的發現出來以後，才承認古人早有認識；而不是因為古人早有認識，卻因為不相信他，及到現代科學發現了才趕緊承認他，吹噓他。相同的情況也是：對於《周易》的數學文化內涵，基本也停留在近代人發現的二進制的思想基礎上作闡述。現在的研究者也已經開始發現，單以二進制的角度來闡釋《周易》的數學思想是不充分的、不完整的，甚至有曲解的意義在裡面，因為從二進制的角度來看《周易》就變成了是由於二進制的發明才能去理解《周易》了，也就是用二進制思想代替了《周易》的思想了。 
　　這些都是用現代數學或現代科學的理論與觀念來看待數學的歷史發展的；而沒有發現或認識到的東西一概視而不見。由於現代科學的發展，現在，對於數學的定義已經和以往有所不同了。現在對數學的定義是： 
　　數學最早是研究量、結構、變化以及空間模型的學科。在現代，數學又是利用邏輯形式研究現實世界的空間形式和數量關係的學科，儘管對某一特定結構的研究往往屬於自然科學，特別是物理學的範疇。同時由於數學自身的發展，數學家也要研究純粹屬於數學內部的結構。 
　　就例如那個著名的勾股法，這是人的肉眼所看到的固定空間的幾何形式，在這種情況下才能進行計算。而一旦超出一點點肉眼所看到的固定空間，包括觀念中的設想的空間，勾股法就不適用了。那麼，如果一個人不相信有超出人的肉眼所看到的空間的存在的時候，就會不可能發現超出肉眼看到的空間數學模式了。不過，這裡不是貶低勾股法；這種勾股法對於人類的生存空間還是有具體的實際的功用的。 
　　可以看出來，數學的思想內涵也在不斷的向各種方向延伸；特別在物理學上，各種事物的物理結構的發現往往也能開闢出新的數學模式的誕生。這種延伸在數學領域中，將發生許多變革，包括對於數學自身的思想的重新反省。 
　　然而，中國古代的學人並不是這樣看待數與數學的。 
　　首先，“數”是宇宙萬物的直接體現。當然，嚴格來說，“數”就在宇宙萬物本身之中；反過來也可以這麼說，因為宇宙萬物的運動是有規律的、有定數的，所以更加能夠用“數”來體現萬物。 
　　其次，在這裡，需要解釋“數”與“數位”的區別是：“數” 一般是通過“數位”來表現的，但也可以用別的方式來表現，所以“數”並不完全等同於“數字”。舉個例子：象《周易》中的八卦，你可以隨意掂出一卦，如乾卦、巽卦，這是可以通過卦象知道他們相應代表的數位的；但是卦象的內涵卻不等同於數字的內涵。那麼，也就是說，“數”的內涵是“數字”不能完全表現出來的，或者說“數位元”只能小部分的、局部的表現了“數”的內涵。所以，二者是不能等同起來的。古人也是不把“數”完全等同於“數字”一意，只要是能表現出一定規律的內涵都稱為“數”。 
　　第三，實際上，“數”還有“規律、命運”的含義，只不過現代語言學家把此義當作引申義來對待。然而，在此處，這個所謂的“引申義”卻是理解“數”的關鍵所在。所以，當我們把“數”的計算、規律、命運等內涵一起應用，就能知道古代人怎樣對於“數”的全面的、整體的、正確的把握。《漢書•律曆志》曰：“數者，一十百千萬也，所以算數事物，順性命之理。《書》曰：‘先其算命。’……探賾索隱、鉤深致遠，莫不用焉。”可見，算數與“性命之理”、與“算命”是有密切關聯的。而“性命文化”與數學之間的關係，對於被現代思想思維著的人或研究者來說，這是一個充滿迷霧的領域，是有待開拓與發掘的。 
　　南宋秦九韶在《〈數書九章〉序》中說，數學“大則通神明，順性命；小則可以經世物，類萬物”，“今數術之書，尚餘三十家。天象曆度，謂之‘綴術’；太乙壬甲，謂之‘三式’，皆曰內算，言其秘也。《九章》所載，即周官‘九數’；系於方圓者，為‘叀（讀：zhuān ？）術’，皆曰外算，對內而言也。其用相通，不可歧二。”
　　那麼，這裡的“內算”的內涵接近“術數”，主要指天文歷數，太乙、六壬、奇門遁甲三式等等；而“外算”的內涵接近現在意義的“數學”。而《四庫全書總目提要》指出術數的類別中，專門提到一種“數學”，曰：“物生有象，象生有數，乘除推闡，務究造化之源者，是為數學。”這說明“術數”的內涵裡也包括有以數位元為模式的“數學”。至於說到“術數”，則是研究命理文化的運算技巧。在這裡，“內算”、“外算”的說法是相對而言的；但是，這兩個的用法是相通的，不可以分歧、分離他們。那麼他們二者之間的緊密聯繫，在筆者看來，就跟“數位元”及部分基本運算規則（如：加減乘除）的應用是一致的，也是不可分開的使用的。當然，可能還有其他相似的、相通的因素，這有待研究。 
　　從這三點來看，數學這個學科知識體系是與文化緊密相關的，現代的許多數學家、哲學家已經意識到這個現象的真實性。那麼，我們可以看到或者能夠預見到，數學的內涵將會因為不同文化的內涵的擴展而被發掘出來，同時，不同的文化內涵本身另產生有其相應的數學內涵的展現。就象“性命文化”內涵在中國古代時段是很發達的、也被人們很廣泛的應用和流傳；所以，要瞭解、明瞭中國古代數學的真實情況，則需要透徹中國古代文化的實質。要想發現或者發明新的數學，首先必須有新的文化內涵在人間出現，才有這種可能性。 　
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （二）

　　梅花一點 
　　大家都知道中國的天干地支 
　　甲子 丙子 戊子 庚子 壬子
　　乙丑 丁丑 己丑 辛丑 癸丑
　　丙寅 戊寅 庚寅 壬寅 甲寅
　　丁卯 己卯 辛卯 癸卯 乙卯
　　戊辰 庚辰 壬辰 甲辰 丙辰
　　己巳 辛巳 癸巳 乙巳 丁巳
　　庚午 壬午 甲午 丙午 戊午
　　辛未 癸未 乙未 丁未 己未
　　壬申 甲申 丙申 戊申 庚申
　　癸酉 乙酉 丁酉 己酉 辛酉
　　甲戌 丙戌 戊戌 庚戌 壬戌
　　乙亥 丁亥 己亥 辛亥 癸亥
　　天干是：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。 
　　地支是：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 
　　為大家所聞名的用動物來配地支是：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬。 
　　天干地支合在一起就是六十花甲，配出60個數：這些就是一種記數的辦法。他和現在的星期的記數、月份的記數的方式是一樣的。像星期有7個數；月有12個數。 
　　天干地支出現的目地就是，把宇宙時間的迴圈週期在地球人類社會的反映的東西體現出來，具體表現為一種時間的記數，但不是通過數位來表現的；而其中關於時間的迴圈週期規律卻一目了然。這是中國古代“數”的一個特徵。著名易學者潘雨廷《讀易提要》中說道：“考黃帝時甲子已通行，今得殷墟文，於六十甲子屢見不鮮。蓋不明週期，必不能明事物之變。先民之成六十甲子，實悟乎週期變化之原也。吾國之文化，於六十甲子關係殊密，以曆言，尤重甲子。” 
　　天干地支，在大的方面可以表現天象、人類社會的規律，小的方面可以體現人體的或具體事物的細微變化規律。 
　　比如，在大的方面最有說服力的是，中國逢9（西元的紀年）必有大事發生：1919年、1929年、1939年、1949年、1959年、1969年、1979年、1989年、1999年。而這些規律與天干的每10年一個週期是一致的。現在大陸研究者有研究地震規律的，也發現60年左右為一個大地震週期，符合六十甲子的干支週期規律。 
　　再比如，小的方面如，中醫把人體裡面的時間變化當作治療的一個依據，其中的時間記數辦法就使用天干地支。可見石玉坤的《十二時辰與人體》。 
　　天干地支對於時間的來說，具有完整的體系性和全面性，應該認為是一種時間記數的體系。他們是對於時間的一種完整全面的科學體系。體現在： 
　　A、天干地支可以應用到年、月、日、時辰的記數，既具有數位的特徵，又有一種週期迴圈規律的特徵。 
　　B、天干地支對於人體生命的時間應用同樣有效。 
　　C、干支的排列不僅是固定的、不能隨意更改次序，而且什麼具體時間排什麼干支也是固定的、不可隨意變換，所以對於時間的迴圈週期也是有規律的、可預見的，就如同春夏秋冬的週期變化也是可以預見的一樣。 
　　這些都符合中國古代“數”的所有內涵。 
　　天干地支相配，符合現代數學的排列組合的理論。這只是現代人的認識，把天干地支純粹當作一種數位元的模式去認識，剝離了其中的文化內涵，自然就不理解天干地支對於時間應用的整體把握和科學規律。 
　　天干地支雖然只有22個字，但對於時間內涵的來說，具有完整的體系性和全面性的表現，應該認為是一種時間記數和宇宙時間週期規律的體系；而且在宇宙萬物的洪觀、微觀上都有全面完整的表現。所以，天干地支既是一種時間記數方法，又是一種宇宙時間觀，更是一種“天人合一”的文化科學觀。 
　　再比如大家熟悉的五行。他最早出現在《尚書•洪範》篇中，曰：“一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。”而這個數字的排列正好和河圖是一致的，並且與地理方位是完全合一的：北方為水，南方為火，東方為木，西方為金，中為土。 
　　後人證明這不是簡單偶合的，是有規律的。 也就是說，五行是和數位有相配的關係，也可以用數位來表達五行的變化。而五行本身只是表現宇宙物理的規律，兼有地理方位的理念。由此說明，宇宙萬物有具體的“數”的表現。這在現代化學的元數週期表、化學方程式等有體現。而五行的表現較簡約。 要指出的是，五行並不等於“數字”或“數”的本身，但五行蘊涵著“數”。同時，產生了另一方面的效應：和五行對應的內涵（如方位：東南西北中；顏色：青朱白黑黃等等）也因此配有相應的對應的數。一般是這樣配的數字： 
　　一六為水，二七為火，三八為木，四九為金，五十為土。
　　另外，五行表現了相生相剋的理：
　　木生火，火生土，土生金，金生水，水生木。
　　木克土，土克水，水克火，火克金，金克木。
　　這種相生相剋的理對於“數”或者“數字”上的影響，還有待研究。筆者初步以為就是為術數文化奠定了其運算方法。事物運動的理，跟生克緊密相關。清朝王用臣撰的《續幼學歌》中寫到： 
　　太昊木德炎帝火，黃帝土分少昊金，
　　顓頊為水帝嚳木，唐火虞土夏舍存，
　　商水周木相生說，秦水漢土後漢火，
　　魏土晉金宋為火，齊木梁水陳土紀，
　　後魏水今後周木，隋為火德唐土紀，
　　後唐仍土晉為金，漢水周木宋火是。
　　《續幼學歌》就是用五行配朝代，表現相生相剋之理。這說明五行在時間歷史上也是有週期變化的體現。這在《全上古三代文》或者《冊府元龜•卷一》【見附錄一】中有詳細的記載和討論。不過，歷史上在學術中對於五行沒有關於歷史變化規律的明確的定論或者準確的描述。尤其在秦漢以後，定論難以確定；而到了北宋以後就沒有了。這可能因為一方面五行的內涵代表的意義遠低於陰陽的內涵（即：五行主要指太陽系內尤其在地球上的物質分類；而陰陽的規律遠遠超出了太陽系的範圍）；另一方面，“五行”的複雜變化程度遠大於“陰陽”的內涵（即數位“五”大於數位“二”），所以“五行”相對於“陰陽”不能達到大道至簡至易的境界，也難以上升到如此境界，從而降低了五行的運算意義的開發。 
　　從以上可見，“數”在古代中國有深厚的內涵，“數”能成為一種學，就必須和宇宙的時空相聯繫，才能得到完整的體現。今人一般都把現在所謂的數學當作一種抽象的科學，實際的意思也就是從人的認識觀念出發，把事物經過觀念的認知抽象出發來研究。這種剝離的思維結果，乃是將人的思想與物質分離開來，是一種精神與物質的分離研究現象，是一種“心物”分離的狀態，也是一種人為的思維結果，而不是宇宙、生命的現實真象。 
　　干支與五行的配數現象證明，宇宙萬物跟“數”是有緊密關係的；同時，也說明在一定層次的宇宙範圍內的萬物的內涵，可以表達為“數”或者用“數”來表達。 　
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （三）

　　梅花一點 
　　再比如中國的《易經》，他的內容包含著深厚的“數學”思想，但是由於現代科學的概念框框禁錮人們的思想，不承認宇宙中存在的太極陰陽等事物；加上現代科學過分講求實證，對於《易經》的思想也象上文說的莊子的極限思想的發現一樣，要等到人們的認可才去面對或者重新去研究。我們來看看《易》之“數學”表現在什麼地方： 
　　“《易》有太極，是生兩儀。兩儀生四象。四象生八卦。”（《易經•繫辭上》） 
　　此段話是《周易》最為著名的一段宇宙生成過程的話語，表現了周易對於宇宙變化的規律的獨特認識。同時也體現了易學宇宙的數學的運動規律。《老子》第42章中說的：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。萬物負陰而抱陽，沖氣以為和。”也是表現老子修煉中看到的宇宙變化的模式，也是可以應用數學的語言來描述的。也就是說，老子及周易的作者等人，通過修煉看到宇宙變化的基本規律，而大道至簡至易，這些規律是可以用簡單的符號或者數位表現出來的。（筆者注：《周易》與《老子》所表達的數學宇宙模式，也只是在他們的修煉境界中看到的一個極高層次的真相，雖然這些都極大的超出人類肉眼認識的宇宙模式範圍，但這也和宇宙的最終真相相差甚遠。所以，在一定的或者固定的情況下，這些數學模式相對於人類對宇宙有一定的揭示作用；一旦超出這些數學模式範圍，可能就不會適用了。這種情況的認識和人類的思想境界、歷史環境是密切相關的。）可惜，後人把這些宇宙運動規律局限在經學哲學研究的領域；或者後人因為未能達到上面修煉人的修煉標準，看不到宇宙的真相，結果陷入了空談、玄談的結果。實際上這個論述，是周易“數學”重要的指導思想、基本思想。《易經》又曰：“一陰一陽之謂道。”所以在指導思想裡，陰陽變化是易學內容的核心。這說明古人的數學思想的起點是極高的，是直接針對宇宙、生命來進行研究的，也跟修煉中的性命之學息息相關的。 但在思維上卻可以得出這樣的結論：中國古代的數學直接就是一種關於宇宙、生命和人體的規律的科學，而不像現代數學一樣是現在人們的一種抽象出來的人的觀念的產物。 
　　例如：“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。”（《易經•繫辭上》） 
　　在這裡，偶數或者奇數是有嚴格的陰陽劃分的。《易經》曰：“一陰一陽之謂道。”也就是，我們看到，數字的意義被蘊涵在“天地”、“陰陽”等等之中的。所以說：“天數五，地數五。五位相得而各有合，天數二十有五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。”（《易經•繫辭上》） 
　　所謂的天數二十有五，就是：1+3+5+7+9=25　　所謂的地數三十，就是：2+4+6+8+10=30　　這種現象除了在五行河圖配數中體現以外，在八卦之中也特別具體體現出來。如在北宋邵雍的先天八卦圖中的配數是： 
　　乾一，兌二，離三，震四，巽五，坎六，艮七，坤八。 
　　值得進一步指出的是，這種配數不是簡單的一到十或者一到八的數字的表示，實際上他是一切自然數的概括或者表示，只不過在內涵上賦予了“天地”或者“八卦”的意義。也就是說，一切自然數都在“天地”或者“八卦”中的理念中得到體現。 
　　“大衍之數五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏；五歲再閏，故再扐而後掛。”（《易經.繫辭上》） 
　　這是一個很明顯的數學計算模式；也是表現卦與爻的變化關係，而他們是完全可以在“數”的內涵中得到表達的。邵雍說：“七七四十九，大衍之用數也……大衍之數，其演算法之源乎？是以算數之起，不過乎方圓曲直也。乘數，生數也；除數，消數也。演算法雖多，不出乎此矣。”（《觀物內篇》） 
　　“《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也。”（《易經•繫辭上》） 
　　這是六十四卦與曆法、與萬物之間的數字關係。當然，後人因為有各種相應的數字出現不一致的現象，而認為這只是一種比附的關係。實際上，不應當這麼簡單的看待。這裡我們可以看到在邵雍的“元會運世”的數字關係中，看出這些數字不是簡單的比附，而是一種值得注意的關係。尤其在數位相近、相同的情況下，猶為值得發現其中的真實規律。 
　　“數往者順，知來者逆，是故《易》逆數也。”（《易經•繫辭下》） 
　　這句比較難以理解，但我們可以認為這是對於《易經》的數學思想的一個小概括，也表現了與今人對於數學認識的不同之處。今人在數學上的發現或者突破，完全依靠人的觀念的改變以後，才得以進行的。一旦人的觀念或者思想未能接受的時候，那數學的發展就從無可言。也就是說，現在的數學完全建立在對於前人的思想觀念之上的；而《易經》卻認為能夠知道未來的數學，才是真正的易道的內涵，而不是一種完全的接受前人觀念的思維方式。 
　　還有，卦與卦之間，爻與爻之間，卦爻之間都有錯綜互變的關係，這些關係的內涵包含有一種數學上的變化關係，但也不完全等同。 
　　從以上的解析來看，如果能夠肯定《周易》存在完整的、系統的數學思想的話，那麼，中國的數學文化內涵完全可以向前推演千年。因為《周易》之前，是來自夏商時期《連山》《歸藏》的演變和改造的。所以，《周易》的來源是極其深遠悠久的。實際上，當今的許多易學研究者已經認識到了這種系統性和完整性。從這個角度來看，中國古代數學的體系和古希臘及現代西方的數學體系完全是兩回事，也就是說，中國古代數學走的路是一個被歷史淹沒的幾乎被人們所遺忘的文化之路。 　
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （四）

　　梅花一點 
　　關於二、三、四、五等基本數位的運算內涵
　　這裡的二、三、四、五的數字內涵跟現代思維的數字內涵不是一回事情。我們先從經學的角度去侃侃。比如，在漢朝許慎《說文解字》中，對於 
　　“一”解釋是：“惟初太始，道立於一，造分天地，化成萬物。” 
　　“二”解釋是：“地之數也，從偶一。” 
　　“三”解釋是：“天地人之道也。” 
　　“四”解釋是：“陰數也。象四分之形。” 
　　“五”解釋是：“五行也。從二，陰陽在天地間交午也。” 
　　“六”解釋是：“易之數，陰變於六，正於八。” 
　　“七”解釋是：“陽之正也。從一，微陰從中裡出也。” 
　　“八”解釋是：“別也，象分別相背之形。” 
　　“九”解釋是：“陽之變也。象其屈曲究盡之形。” 
　　“十”解釋是：“數之具也。—為東西，│為南北，則四方中央備矣。” 
　　我們看到，除了“八”字的解釋是根據字體的形狀作出的以外，其它數字的解釋基本上是和《易》、數術內涵緊密相關。這些個內涵應該在數學思想中做深刻的研究。而筆者在下面從另一個相似的角度說明。 
　　首先，關於“一”，在《道德經》裡，也經常使用“一”字，其內涵與“道”的內涵非常接近，有時互相替代，這和許慎的《說文解字》解釋大致相同。剛才引用的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，就表達了。而許慎的《說文解字》主要來自於儒家的思想，這說明道家思想和儒家思想有一定的關聯和一致性。 
　　其次，關於“二”，我們也經常把“二”和“陰陽”（在《周易》裡叫“兩儀”）事物等同；而“三”則於“三才”（即：天地人）相關；“四”可以和“四時”（即：春夏秋冬）或者“四象”（即：太陽、少陽、太陰、少陰）相配；“五”可同“五行”（即：金木水火土）相等。
　　那麼，對於熟悉中國古代文化的人來說，我們可以很明顯的進一步指出： 
　　上古的《周易》的陰陽文化表現了“二”的運算規則； 
　　揚雄的《太玄》的三才文化表現了“三”的運算規則； 
　　邵雍的《皇極經世書》的四象文化表現了“四”的運算規則； 
　　司馬光的《潛虛》的五行文化表現了“五”的運算規則。 
　　關於揚雄的《太玄》是模仿《周易》而寫的，這是人們都認識到的。邵雍說：“易有算數，三而已；參天者三三而九，兩地者倍三而六。參天兩地而倚數，非天地之正數也。倚者擬也，擬天地正數而生也。”“曆不能無差。今之學歷者，但知曆法，不知曆理。能布算者，落下閎也，能推步者，甘石公也。落下閎但知曆法，揚雄知曆法又知曆理。”“落下閎改顓帝曆為太初曆，子雲准太初而作《太玄》，凡八十一卦，九分共二卦。”“七七四十九，大衍之用數也，八八六十四，卦數也，九九八十一，《玄》、《範》之數也。”（《範》是指《尚書》的《洪範》篇——筆者注）“《太玄》九日當兩卦，餘一卦當四日半。”“揚雄作《玄》，可謂見天地之心者。”（皆出自《觀物內篇》）可見，揚雄深得三之數。 
　　邵雍使用“加倍法”，在《周易》的“二”的運算基礎上，建立了“四”（即2×2=4）的運算規律；實際上這個《皇極經世書》完全是《周易》的思想的進一步複雜化的演算模式，和《周易》是一個體系的內涵。這種“加倍法”在歷史上有過先例：如《周易》自身把八卦變成六十四卦，取八八六十四的數（即8×8=64）；再如漢朝的《焦氏易林》裡把六十四卦進一步加倍，得出四千又九十六卦（即64×64=4096）。當然在《皇極經世書》裡也有許多邵雍自己獨創的內涵。例如：“元會運世”，凡一世三十年，一運十二世，一會三十運，一元十二運，故一元當十二萬九千六百年。其算式如下： 
　　1元=12會=360運=4320世=129600年 
　　1會=30運=360世=10800年 
　　1運=12世=360年 
　　1世=30年 
　　易學家潘雨廷在《讀易提要 邵雍〈皇極經世書〉提要》篇中認為：“按邵子之曆以十二、三十相間為週期。十二者，地支也；三十者，天干三周也。故其本猶六十甲子。”所以說，邵雍的“數學”思想深受揚雄《太玄》及術數文化的影響和啟發。 
　　那麼，司馬光同樣也受到揚雄和邵雍的思想的影響，才製作出《潛虛》來的，並和揚雄的《太玄》有異曲同工之處。實際上，如果仔細研究，則會發現，司馬光的學術與邵雍的學術很類似。如史學上，司馬光有《資治通鑒》，邵雍有《皇極經世》；哲學上，司馬光有《潛虛》，邵雍有《觀物篇》及《漁樵問對》等；音韻學上，司馬光注重“五”分法，邵雍則是“四”分法等等。這種類似的情況，說明了二人的思想關係確實符合史書記載的他們曾經有長時間的密切交往的事實。 
　　另外，據敦煌莫高窟的發現，至少在唐朝時代就有了《靈棋經》；到了元末明初的劉伯溫為其作注，因而大行於世。劉基《靈棋經解序》認為：“靈棋之式，以三為經，以四為緯。……靈棋，象易而作也，非精於易者不能也。予每喜其占之驗……”。可見，“靈棋”是數位“三”和“四”的結合體，並同樣和《周易》有著仿製的內涵關係在其中，道理如同《太玄》、《潛虛》。 
　　可以總結的說法就是，在《周易》文化的影響下，後人根據了《周易》的數學體系模式，可以進一步發明或者發現與《周易》完全相似的數學體系。這些體系雖然從學理角度來說是易文化變化或派生出來的，但仍然具備自身獨立的嚴格性、完整性和體系性。這也符合了“神無方而易無體”的玄學思想。這也證明中國的易文化影響下的數學體系模式是在不斷的變化的，不斷的有繼承發展的。 　
一些關於中國古代術數的數學理念的劄記 （五）

　　梅花一點 
　　易學體系的“象數”文化內涵與現代數學之間的關係 
　　在《周易》裡，關於“象”的內涵，有許多變化莫測的使用與解說。不過，《周易•繫辭》曰：“在天成象，在地成形，變化見矣。”在此，“象”與“形”的意義基本是一致的。筆者在這裡也比較支持並使用這個“象”的內涵。 
　　在歐幾里德(Euclid，希臘人。生於西元前300年前後是著名的數學家)的《幾何原理》裡面，關於“點”、“線”、“面”的概念的解說和使用，很接近關於易學中的“象”與“形”的內涵；但是，這裡面還是有嚴格的文化區分在其中，是兩種不同的文化體系的解說。至於後來西方文化發展出來的非歐幾何，完全是對於歐氏幾何原理的邏輯上的新發現或者新突破，而製作出來的，可惜也還未能有本質的文化內涵的突破，這也許和西方的符號文化息息相關吧！那麼，筆者試試來看他們的文化區分在哪裡呢—— 
　　《春秋左氏傳•僖公》曰：“龜，象也；筮，數也。物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數。”那麼，我們看到的情況是，“象”的內涵與事物的整體內涵是直接相關的。大儒邵雍把易學分為“意、言、象、數”四個層次的意義，但並不是將這四者完全分開、隔離開，這麼說來，這個“象”的哲學意義直接和“意、言、數”相關。筆者看來，這是不可以分離的。只是後人之學者各有偏好，理解事物的真實內涵各有境界，加上所繼承之學術各有偏頗、性情也是不一，所以易之後學繁複雜縟，才又分為義理和象數兩種之學。那麼說來，“象”與“意、言、象、數”是一個正式而且又真實的整體，分開來說他們，是一種人們知道的意義來表達，而實質的意義是，他們是不可分開的。也即，說到“象”的時候，他就孕育或者蘊涵著“意、言、象、數”的不同層次的意義；說到“數”的時候，也是如此。從這裡我們可以看到，“象”的意義，超過一般的抽象的哲學意義，他的整體性的意義可以達到不可言語的“意”的層面。當然，如果從緣起或者起源的角度來看，“象”的內涵跟高境界的修煉內涵有關，比如說“陰陽”，其本身就是一種“象”，後人為了方便理解，所以常把其與“天地”、“男女”、“尊卑”等等內涵相互闡釋，而真正的實質是，“陰陽”本身就是獨立的“象”或者“意”， “天地”、“男女”、“尊卑”等類似的概念是人世間的人找到與“陰陽”相關連的意義的人世間式的表達，這種表達就是通俗化的表達而已，當然，其中也有實際的意義上的真實的關聯。所以，“陰陽”這種類型的“象”，既不能說是具體的“象”，也不能說是抽象的“象”，但是他又能將其在具體的情況下可以成為具體的“象”，或者成為抽象的“象”。這些表現古人修煉到高境界後認識到的事物的規律的概括意義，是能超越一般世人的知識的概念內涵。這也許是易學的“象”的內涵的特殊性所在和超越性所在。 
　　而西方的數學，尤其在幾何方面，主要從兩個層面表現他們的關於“象”的認識：一個是人的視覺器官；一個是抽象的符號文化所引發的概念性的假設。沒有人的視覺器官，就無法對於人世間的狀態下的事物進行測量；而人的視覺器官也只是局部的而且有限的看到事物的內涵，不是整體內涵。至於象對於“點”、“線”、“面”這些概念的定義，只能是假設性的定義，也即是直接的假設。至於這種假設為何能建立出人們認為的“科學體系”或者“科學知識”，那是哲學家們具體爭議的問題，而對於人類而言，這也只是人類生存狀態的局限性所致。人類想要夢想無限的生存，也必須要自己去探索，可惜這是不可能的。 
　　筆者暫時只能分析到以上二者的這種區分。另外，讓我們試試補充的談一下算學與數學的名詞內涵的區別。從名詞的角度來看，“算學”主要體現在“算”字的意義，而不是局限在對於數字體系的運算內涵的解說；而“數學”這個名詞的特點，必須與數字體系相關，人們才能更好的去理解各種運算體系。筆者認為，“算學”的意義，在名詞解說上，具有比“數學”更廣義的意義和發展內涵在其中。而且，關於“算”字的內涵，也不只是由“加減乘除”來構成了，更多的是表示宇宙中各種事物、生命的運動變化的規律的體現了。有多少事物的運動規律，就有多少“算學”的變化形式或者規律。 
　　未來數學的可能性。
　　據本人花一段時間考察了中國古代術數文化的感受以後（見筆者所寫的《草議治學中國古代歷史的方法的幾個問題》），深刻的認識到中國古代數學的內涵極為博大精深。這也使得我們不僅只是單單用現代的哲學、邏輯學的思辯的思維方式、思想方法來看待數學的可能性了，而可以是能夠用更廣義的、更接近生命本質的方式來看待數學的發生與發展變化。這個就涉及到運用修煉內涵的文化或者意義來進行辨別和開拓了。那麼，筆者不吝鄙妄，在此試論一下關於未來數學的可能性的具體的想法，以便將來的方家做指教、甄鑒或者發明： 
　　我們首先看南宋數學家秦九韶《數學九章•序》的一段話：“今數術之書尚三十餘家不，天象曆度謂之綴術，太乙壬甲謂之三式，皆曰內算，言其秘也。九章所載，即周宮九數。系於方圓為叀［豎寫為“一虫”，“虫”中的“中”字為“申”字］術（測量技術），皆曰外算，對內而言也，其用相通，不可歧二。獨大衍法不載九章，未有能推之者，曆家演法頗用之，以為方程者，誤也。且天下之事多矣，古之人先事而計，計定而行，仰觀俯察，人謀鬼謀，無所不用其謹，是以不衍於成，載籍章章可覆也。後世興事造始，鮮能考度，浸浸乎天紀人事之淆缺矣，可不求其故。”
　　這就是關於數學內涵中的“內算”與“外算”的著名論述。據筆者鄙陋認為，當今來自西方的古希臘數學和現代數學，則完全屬於“外算”部分。而關於“內算”部分，秦九韶認為屬於天文數學內涵和術數文化內涵，其中的“三式”是指著名的太乙神數、六壬和奇門遁甲。不過，秦九韶還認為“內算”與“外算”之間的關係是相對而言的，“其用相通，不可歧二”。這說明了，數學與術數的關係是密切的，這在現代邏輯數學的內涵中，多多少少看到了一些相似的影子。只是現代邏輯學仍然未能觸及到數學與生命內涵之間的關係，也未能與性命內涵相關連；所以，現代邏輯走的路子和術數文化是截然不一的。 
　　我們來看一下北宋朝代的《太平廣記•第215卷•算術》記載的關於“算術”的故事中，所體現的“數學”（或算學）的思想內涵吧！這一卷是以人物為主題寫的故事，當然，這些故事的來源是搜集自宋朝以前的筆記野史。人物分別是：鄭玄、真玄兔、曹元理、趙達、李淳風、一行、邢和璞、滿師、馬處謙、袁弘禦。其中李淳風的故事標題用《貞觀秘記》，其餘用人名。有一些人在正史中是有其人的相關記載，如鄭玄、趙達、李淳風、一行，都是可考的真實人物。 
　　在《鄭玄》一篇中，一共提到三種算術：一是“算渾天”，就是天文學“渾天說”的算術方法；二是“轉式”、“推式以算”，就是古人說的“三式”：太乙神數、奇門遁甲、六壬。今人認為這些是數術類的技能。三是“算乘除”，就是現在的簡單的乘除法計算。 
　　在《真玄兔》一篇中，文中說“皇甫嵩、真玄兔、曹元理”三人會算術，皇甫嵩是東漢後期鎮壓黃巾起義的名將。而真玄兔卻能算出自己的歲數和自己死去的具體的日期，相差一天時間。這類算術，今人看來，當是屬於數術類的。 
　　在《曹元理》一篇中，曹元理用筷子“十餘轉”，算出陳廣漢的兩個大倉庫的具體石數（古人的計量糧食單位）和具體數量的農牧資業。這項技能有傳乘人，分別是“南季。南季傳項滔。項滔傳子陸”。這種算術技巧不知如何歸類。 
　　在《趙達》一篇中，趙達用占算的方式，解釋長沙饑荒的原因，說是餘幹縣的水口有一個鱉形沙洲而造成的。這有點象風水類的技能。 
　　在《貞觀秘記》一篇中，李淳風“據玄像，推算”唐朝將有女主代有天下。這裡的“玄像”或有人認為是天象，那麼這就可能是星象學。 
　　在《一行》一篇中，一行僧人會修曆書，造黃道遊儀，這些都需要高超的數學知識；又在固定時間裡測量日影，然後用勾股法算出中土的南北距離。這是後人說的天文數學。 
　　在《邢和璞》一篇中，“邢和璞好黃老之道，善心算。”至於是什麼樣的“心算”，無從得知。裡面有三則像神話一樣的故事，其中第2個故事是轉世的，跟算術的直接關聯不大。 
　　在《滿師》一篇中，“滿師善九宮”，有人認為“九宮”是數術的一種；故事內容是算命的。 
　　在《馬處謙》一篇中，盲人馬處謙會易學占卜。 
　　在《袁弘禦》一篇中，後唐時期的袁弘禦“尤精算術”，能隨即算出樹上的樹葉或凋落的樹葉，也可算出玉碗破碎的時間。 
　　這十篇故事基本都沒有雷同之處，而都歸於“算術”的內涵，很值得人們深思。我們是到有必要瞭解真實的“算術”內涵的時候了。 
　　那麼，筆者從中國傳統文化內涵的角度，大致的設想了未來數學內涵的可能性。因為任何學問都有其複雜性和交叉性；因而筆者在此試試大致做一點舉例說明或解說吧： 
　　未來數學的內涵分兩大類：一是技術算，一是功能算； 
　　也可以從另外一個角度，即採用南宋秦九韶的說法的名詞（但與秦九韶的說法的內涵不完全一致），可分為兩大類：一是內算，一是外算。 
　　所謂的現代意義的數學內涵，一般可以統稱之為“數算”；他主要是從數位、符號的角度出發，依據人類肉眼看到的、感性的（也包括有一些是人的觀念的變化出來的東西）或者通過科技發現的物理（指廣義的物理，非是今日說的“物理學”）的各種表面形態與運動形態，來製作出各種各樣的數學運算技巧。 
　　而關於“術數文化”，則屬於“命算”的內涵。這裡的術數文化，不僅包括中國古代的各種術數，還包括其他國家的和西方國家的各種術數。其“命算”的主要特點，就是研究和運算地球、人類及其他與人類緊密相關各類物質的命理現象，可以得出與人自身相關的吉凶的命運內涵。而“命算”的文化內涵與“天人合一”的內涵、與“天命”的內涵、與“神傳文化”的內涵是緊密不可分的。所以，“命算”和人類的“性命文化”是不可分的，但重點側重在命理內涵，裡面強調技巧的運用與傳授。 
　　至於說到“心算”，那就是一種運用低層次的心理功能的能力做的一種運算技巧。這個一般需要一定的訓練，也有部分先天自己帶有的，但是會“心算”者不一定完全知道其中心理功能的原理。像人們說的如果您給任何一個10幾位元數的數字，做加減乘除，心算者就以一般人達不到的速度很快算出來。另外，中外的古代的一些低層次的方術技巧，也帶有類似的功能及關於“心算”的內涵。這裡的“方術”也就是指人們說的“術類”或者“法術”的東西。一般說來，古代的人們也把“術數”當作“方術”的一種。但是在大部分的“術類”或者“法術”裡的東西，實際是一種低層次的人體功能的體現；而“術數”是不完全依賴人體功能來展現其運算內涵；所以筆者就將二者區分開來了，將“術數”單獨理解為“命算”的內涵。“心算”的內涵主要表現在“數算”與“命算”的人體的功能化，卻不一定得到高層次的“性命文化”內涵，是與低層次的或者與人的文化的數學內涵相關的。嚴格的說，“心算”應該是人體中一些具體功能的體現。要解釋的是，這裡用“心”字，主要意思是指人的意念。 
　　而“神算”，在這裡主要指是高層次的修煉者，直接運用功能甚至是佛法神通來查看事物運動的真象，或者說是佛法神通的一種表現、一種功能。而普通的人們一般是不理解其中的事物運動的過程的及修煉內涵的玄奧，所以，往往把這些事物運動的真象作為一種運算的內涵或者運算的結果來看待，也即變象的變成了人們比較認可的一種“數學”或者“數學”的一個種類的內涵。但是，對於這些事物的運動的全體真象，不一定都能透露給世人，因為那是天機，所以這類“神算”的內涵往往具有神秘及玄奧的色彩，一般的人也認為必須通過修煉才能理解、認識和看得到，同時其內涵往往具有廣義的多層次的指導意義。這裡的“多層次”就是高層次和低層次的內涵都有、都包括。 
　　那麼說來，“數算”與“命算”的主要共同特點就是可以技術化的運算特色，人們通過學習和訓練是能達到掌握這些運算技巧和技術的。所以，“數算”與“命算”二者可以合稱為“技術算”。而“心算”與“神算”的主要共同特點是以應用人體功能為主，來對於事物及其運動作為物件來進行研究運算，所以也可合稱為“功能算”。只不過，“心算”的功能類似一種低層次的人體功能的技巧，一般人是通過訓練可以得出來的；而“神算”必須與修煉和信仰相關聯，其得出的關於“數學”方面內涵也不是一般的人們能完全理解到的、明白得了的。 
　　如果從中國古代學術的“性命之學”與“物理之學”的角度來看，則“數算”單純屬於“物理之學”的內涵，“命算”兼有“性命之學”與“物理之學”的內涵，而“心算”與“神算”則主要為“性命之學”的內涵；同時，由“神算”得出的內涵對於“性命之學”與“物理之學”都具有指導意義。所以，“數算”一般可以稱為“外算”，“命算”、“心算”與“神算”可以合稱為“內算”。不過，說“內算”與“外算”是“不可歧二”的，筆者是比較贊同這一看法的。但從來源性來看，“內算”居先，並對於“外算”具有指導意義。所謂“內”的涵義，可以有相當於“內證”之意，指人遇到問題和困難而都應該向內修，修自己的心性，當然也包括學習或者研究數學的內涵上遇到的各種困難。 
　　那麼我們總結以上說法時，我們會看到，從內容來說，數學的學科內涵將得到無窮盡的拓展，表現在：數學這門學問將會建立在以性命文化或者修煉文化為主體（或者為核心）的基礎上，形成的對於時空、生命、宇宙、人體和社會的整體的、全面的文化觀，由此而創制出各種變幻莫測的運算體系，用以促成人類生命及生活的完善與高尚。 　
【附錄一】

　　現摘錄《冊府元龜•卷一》如下，讀者可以瞭解一下： 
　　“昔雒出書九章，聖人則之，以為世大法。其初一曰五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。帝王之起，必承其王氣。大古之世，鴻荒樸略，不可得而詳焉。 庖犧氏之王天下也，繼天之統為百王先，實承木德，以建大號。三墳所紀，允居其首。蓋五精之運，以相生為德。木生火，火生土，土生金，金生水，水生木，乘時迭王，以昭統緒。故創業受命之主，必推本乎歷數，參考乎徵應，稽其行次。上承天統，春秋之大居正，貴其體元而建極也。前志之論閏位，謂其非次而不當也。共工氏任智，刑以禦九域，霸而不王，雖承太昊之後，而不齒五德之序。 
　　神農氏以火承木，故為炎帝；
　　軒轅有土德之瑞，故號黃帝；
　　少昊以金德王，故號曰金天氏；
　　顓頊以水德王，號曰高陽氏；
　　帝嚳以木德王，號曰高辛氏。
　　帝堯以火德王，號曰陶唐氏。
　　帝舜以土德王，號曰有虞氏。
　　繇虞氏以上，皆承運更起，應期正位。 
　　參列五辰之次，而克當統紀。至於正朔、服色之改度，戎祀朝會之所尚，記籍斯逸，罕得而述焉，夏後氏受有虞之禪，是謂金德，正用建寅，其色尚黑；商湯代夏以水德王，正用建丑，其色尚白； 周武以木德王，正用建子，其色尚赤。 
　　三代之際，各居一統，錯綜其數，以通其變。順三微之序，極三才之致，咸享祚長久，蓋得夫天曆之正也。 
　　三季之衰，秦兼天下，獨推五勝不當。 
　　正統漢祖以斷蛇之符，上系成周，是為火德，起自沛中，旗幟皆赤。至文帝時，魯人公孫臣推終始之傳，謂漢承秦，當用土德，土德之應，黃龍當見，宜改正朔，服色尚黃。時丞相張蒼引河決金是，以為漢當水德，以十月為正，其色外黑內赤，遂罷公孫臣之議。明年黃龍見，成紀乃用土行，改曆服色，而賈誼亦以為然。孝武正曆，以正月為歲首，色尚黃，數用五，蓋以秦為水德，據漢土而克之，從所不勝，遂順黃德。劉向父子以為帝出乎震，故庖犧氏姓受木德，以母傳子，終而複始。自農軒曆唐虞三代，漢得火行，上合天統，當時雖建，厥議未克，遵行世祖，中興乃用其說。 
　　魏氏始基，有黃星之應。又太史丞許芝言，戊寅黃龍見，此受命之符最著明者也。又《易運期讖》有“黃氣授真人出”之言。又太微中，黃帝坐嘗明，赤帝坐嘗不見，以為黃家興而赤家衰亡之漸。又熒惑失色，十有餘年，蘇林董巴等，又言魏之氏族出自顓頊，與舜同祖。舜以土德承堯之火，今魏亦以土德承漢之火，於行運合，於堯舜授受之次。既而受漢禪，改元黃初。議更正朔，易服色，殊徽號，同律度量，以乘土行，以夏數為得天，即用夏正，而服色尚黃。然尚循漢正朔，弗之改也。明帝在東宮，著論以為五帝三王，雖同氣共祖，祖不相襲，正朔自宜改變，以明受命之運。即位久之，從高堂隆之議，乃推三統之次，以魏得地統，遂用建丑之月為正月，服色尚青，犧牲用白，戎事乘黑首白馬，建大赤之，朝會建大白之。齊王嗣位，以夏正得天，改用建寅為正月。 
　　晉武泰始二年，有司舉唐堯舜禹，不易祚改制，至於湯武，始推行數。今晉繼三皇舜禹之跡，應天受禪，宜用前代正朔服色，如虞遵唐故事。而史臣之記，晉為金行，服色尚赤。
　　後魏道武天興初，始詔有司，議定行次。有司曰：國家繼黃帝之後，宜為土德，有土畜之瑞，及黃星之符。遂從土德。服色尚黃，數用五，犧牲用白，行夏之正。孝文太和中下詔，以丘澤初制，配尚宜定，五德相襲，論有異常。帝令百辟集議，高閭以為漢用火德，徵斬蛇之符，上繼於周，棄秦之暴，越惡承善，不以世次為正。自時厥後，乃以為常。
　　魏承漢火生土，故魏為土德；
　　晉承魏土生金，故晉為金德；
　　趙承晉金生水，故趙為水德；
　　燕承趙水生木，故燕為木德；
　　秦承燕木生火，故秦為火德。
　　今魏宜承秦為土德。李彪、崔光等，以為宜紹晉金德，不當次於僭偽。建議各殊，稱年不定。既而穆亮等大臣共議，宜上承晉世，定為水德。孝文下詔，特從其說。 
　　後周革命，有赤雀之祥，群臣奏議，請更正朔，定為木行，以承水德，服色尚烏。 
　　隋文受禪，次用火德，以有赤光之瑞，車服旌旗，悉皆尚赤。而帝服戎服，悉皆以黃。 
　　唐氏承統，盛德在土。至開元中，有請改為金德者，終報罷之。天寶中，令諸衛緋色幡，改為赤黃色，以應土德。 
　　朱梁建國，如秦之暴，雖宅中夏，不當正位。同光纘服，再承絕緒。
　　晉承唐後，是為金德，漢氏承晉，實當水行。 
　　周祖即位之初，有司定為木德。 
　　自伏羲氏以木王，終始之傳，迴圈五周，至於皇朝。以炎靈受命，赤精應讖，乘火德而王。混一區夏，宅土中而臨萬國，得天統之正序矣。” 　
洛書中的數字規律

　　九數
　　洛書的數字排列，看上去很簡單，只有一、二、三、四、五、六、七、八、九、就這九個數字。不過，簡單的數字，按照這樣特殊的排列方法，結果產生了並不簡單的數位規律。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　492　　357　　816　　洛書，看上去是正方形的圖，稱為方圖。有三行，稱為橫；有三列，稱為縱。人們也把洛書叫作縱橫圖。
　　規律之一：
　　上行為四，九，二，其和為十五；中行為三，五，七，其和為十五；下行為八，一，六，其和為十五。
　　4+9+2=15　　3+5+7=15　　8+1+6=15　　左列為四，三，八，其和為十五；中列為九，五，一，其和為十五；右列為二，七，六，其和為十五。
　　4+3+8=15　　9+5+1=15　　2+7+6=15　　主對角線為四，五，六，其和為十五；副對角線為二，五，八，其和為十五。
　　4+5+6=15　　2+5+8=15　　縱橫以及對角線，各個方向上，三個數之和，都是十五。確實非常神奇，人們因此也將洛書叫作幻方。
　　規律之二：
　　方，容易讓人想到平方。平方，最初的用法是計算面積，正方形的面積等於邊長的平方。當我們用平方來計算洛書的時候，出現了更多的數字規律。
　　上行為四，九，二，其平方和為一百零一；下行為八，一，六，其平方和為一百零一。
　　4^2+9^2+2^2=101　　8^2+1^2+6^2=101　　[注：4^2表示四的平方，4^2=16，其餘類似。]　　左列為四，三，八，其平方和為八十九；右列為二，七，六，其平方和為八十九。
　　4^2+3^2+8^2=89　　2^2+7^2+6^2=89　　規律之三：
　　綜合運用上面兩種規律，還有一些有趣的算式。
　　取上行和下行，按照相同的排列方法組成兩位數。上行得四十二，九十二，二十四，其平方和為一萬一千四百四十一；下行得八十一，十六，六十八，其平方和為一萬一千四百四十一。
　　49^2+92^2+24^2=11441　　81^2+16^2+68^2=11441　　取左列和右列，按照相同的排列方法組成兩位數。左列得四十三，三十八，八十四，其平方和為一萬零三百四十九；右列得二十七，七十六，六十二，其平方和為一萬零三百四十九。
　　43^2+38^2+84^2=10349　　27^2+76^2+62^2=10349　　取上行和下行，按照相同的排列方法組成三位數。上行得四百九十二，九百二十四，二百四十九；下行得八百一十六，一百六十八，六百八十一。
　　492^2+924^2+249^2=1157841　　816^2+168^2+681^2=1157841　　取左列和右列，按照相同的排列方法組成三位數。左列得四百三十八，三百八十四，八百四十三；右列得二百七十六，七百六十二，六百二十七。
　　438^2+384^2+843^2=1049949　　276^2+762^2+627^2=1049949　　如果取四位元數，乃至高位數，同樣有類似的數字規律出現。
　　規律之四：
　　前面的平方和相等的算式，沒有用到中行和中列，如果引入算式，同樣有非常有趣的數字規律。
　　取上行和中行，按照相同的排列方法組成兩位數，得四十三，九十五，二十七；取下行和中行，按照相同的排列方法組成兩位數，得八十三，十五，六十七。
　　43^2+95^2+27^2=11603　　83^2+15^2+67^2=11603　　取左列和中列，按照相同的排列方法組成兩位數，得四十九，三十五，八十一；取右列和中列，按照相同的排列方法組成兩位數，得二十九，七十五，六十一。
　　49^2+35^2+81^2=10187　　29^2+75^2+61^2=10181　　規律之五：
　　如果將各行各列的數字都用上，同樣有奇妙的數字規律出現。
　　取三行，分別順序排列和反序排列，組成三位數。
　　492^2+357^2+816^2=1035369　　294^2+753^2+618^2=1035369　　取三列，分別順序排列和反序排列，組成三位數。
　　438^2+951^2+276^2=1172421　　834^2+159^2+672^2=1172421　　我們在這裡羅列了五條規律，只是洛書中極淺顯的部分，這些只是純粹的數字計算。認真思考一下，我們一定會為洛書深深的感動。這麼不起眼的數表方陣，竟然潛藏了這麼多的規律。真是不可思議！
　　在現代人眼中，洛書很簡單，一般幼稚小兒都會計算。成年人多半不會對洛書有興趣。然而，在古代的時候，中國這個地方一直都是最有智慧的人在研究洛書的奧秘。
　　在古人眼中，洛書是上古星圖，對天文地理有玄奧的影響。洛書是史前文化，表達著史前人類對銀河星系的運行規律的認識。歷代的數術文化，無不運用著洛書的奧妙。 　
旋機在洛書中的體現

　　九數
　　仰觀天文，星移斗轉，烏飛兔走。在人類眼中，天地蒼穹就是一部大旋機。本篇繼續以數位算術的方式解洛書，探討的是洛書中的旋轉機制，也就是旋機是怎樣在洛書中體現的。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　先介紹一個關於洛書的基本觀點。洛書，人們一般認為是方圖。比如九宮數的排列，三行三列，分明是一個正方形的樣子。如此，洛書也就被說成了方圖。然而，這個說法，只算一半；還有另一半，洛書也可以說成是圓圖。古人的解釋很簡單，九五一、三五七、四五六、二五八，這四組數的和都是十五，和“圓的直徑等長”這條圓的性質非常一致。如此，洛書也被說成是以數字五為圓心的一個圓圖，其餘八數則均勻分佈在圓周上。
　　歷史上，對這個洛書涵蓋方圓的問題，講的最清楚的是清代萬年淳。萬年淳，乾隆舉人，當過縣太爺，著有《洞庭湖志》。在萬年淳的儒學著作中，有一個外圓內方洛書圖式。遍搜古人著述，我以為此圖深合天機。
　　外圓內方洛書圖式的構造如下：
　　畫一個圓，將五放在圓心，其餘八個數放在圓周上，構成漢字“米”的形狀。九在上，一在下；三在左，七在右；四在左上，六在右下；二在右上，八在左下。
　　接著，四二相連，二六相連，六八相連，八四相連。這是偶數正方形。
　　接著，九七相連，七一相連，一三相連，三九相連。這是奇數正方形。
　　如此，外圓內方的洛書圖式已成。
　　萬年淳的外圓內方洛書圖式是靜態呈現，現在我們考慮這一圖式的動態效果。取兩張外圓內方洛書圖式，按照下面的方式添加指向箭頭：
　　第一圖，四指向二，二指向六，六指向八，八指向四；九指向七，七指向一，一指向三，三指向九；九指向二，二指向七，七指向六，六指向一，一指向八，八指向三，三指向四，四指向九。這個圖稱為正向旋機圖。
　　第二圖，四指向八，八指向六，六指向二，二指向四；九指向三，三指向一，一指向七，七指向九；九指向四，四指向三，三指向八，八指向一，一指向六，六指向七，七指向二，二指向九。這個圖稱為反向旋機圖。
　　我們的圖已經製作好了，現在可以取數作算術了。取數的方法，仍然是正向旋機圖和反向旋機圖對映取數。
　　偶數四分之一圓弧
　　正向取數：四九二，二七六，六一八，八三四。
　　反向取數：四三八，八一六，六七二，二九四。
　　492+276+618+834=2220　　438+816+672+294=　　492^2+276^2+618^2+834^2=1395720　　438^2+816^2+672^2+294^2=　　492^3+276^3+618^3+834^3=956242800　　438^3+816^3+672^3+294^3=　　有位朋友提醒我，說你這些算式不會是錯的吧！要是瞎編的，那可影響不好啊！咱們要注意文章品質。哈哈！這個提醒好，這第一道算術，就留一半給看文的朋友自己來算吧！補充說明一下符號，^2表示平方，^3表示立方。
　　奇數四分之一圓弧
　　正向取數：九二七，七六一，一八三，三四九。
　　反向取數：九四三，三八一，一六七，七二九。
　　927+761+183+349=2220　　943+381+167+729=2220　　927^2+761^2+183^2+349^2=1593740　　943^2+381^2+167^2+729^2=1593740　　927^3+761^3+183^3+349^3=1285946100　　943^3+381^3+167^3+729^3=1285946100　　偶數圓周
　　正向取數：四九二七六一八三，二七六一八三四九，六一八三四九二七，八三四九二七六一。
　　反向取數：四三八一六七二九，八一六七二九四三，六七二九四三八一，二九四三八一六七。
　　49276183+27618349+61834927+83492761=222222220　　43816729+81672943+67294381+29438167=222222220　　49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2=13985514749033740　　43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2=13985514749033740　49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3=959177030199175157646100　43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3=959177030199175157646100　　奇數圓周
　　正向取數：九二七六一八三四，七六一八三四九二，一八三四九二七六，三四九二七六一八。
　　反向取數：九四三八一六七二，三八一六七二九四，一六七二九四三八，七二九四三八一六。
　　92761834+76183492+18349276+34927618=222222220　　94381672+38167294+16729438+72943816=222222220　　92761834^2+76183492^2+18349276^2+34927618^2=15965316729235720　　94381672^2+38167294^2+16729438^2+72943816^2=15965316729235720　　92761834^3+76183492^3+18349276^3+34927618^3=1289144023599835190642800　94381672^3+38167294^3+16729438^3+72943816^3=1289144023599835190642800　　這裡指出一點，實際上，一切的情形已經包含在“偶數圓周”和“奇數圓周”這兩種情況中了。請注意，從一到九，只有九個數字，不用五的話，組成沒有重複數字的數，最多只有八位數。因此，這兩種情形已經達到了極限情形。至於用五的話，那要求正向取數和反向取數在相同的數位上，同時都是五。這一點，在前面的一篇漫談文中，談及萬字元的時候，已經有範例了。
　　奇數正方形
　　正向取數：九七，七一，一三，三九。
　　反向取數：九三，三一，一七，七九。
　　97+71+13+39=220　　93+31+17+79=220　　97^2+71^2+13^2+39^2=16140　　93^2+31^2+17^2+79^2=16140　　97^3+71^3+13^3+39^3=1332100　　93^3+31^3+17^3+79^3=1332100　　偶數正方形
　　正向取數：四二，二六，六八，八四。
　　反向取數：四八，八六，六二，二四。
　　42+26+68+84=220　　48+86+62+24=220　　42^2+26^2+68^2+84^2=14120　　48^2+86^2+62^2+24^2=14120　　42^3+26^3+68^3+84^3=998800　　48^3+86^3+62^3+24^3=998800　　最後，給看文的朋友留一點算術練習吧！
　　直線圓弧
　　正向取數：四二七，二六一，六八三，八四九。
　　反向取數：四八一，八六七，六二九，二四三。
　　427+261+683+849=　　481+867+629+243=　　427^2+261^2+683^2+849^2=　　481^2+867^2+629^2+243^2=　　427^3+261^3+683^3+849^3=　　481^3+867^3+629^3+243^3=　　一般來說，正向取數為a，b，c，d；反向取數為e，f，g，h，那麼就有，
　　數之和等：a+b+c+d=e+f+g+h；
　　平方和等：a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2；
　　立方和等：a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。
　　我們寫了這麼多算式，實際上，所取的數可以達到任意大的成度，比如可以繞圈子迴圈自如的取數，這樣選八個九萬九千九百九十九位數，都是很輕鬆的。
　　九數有盡，算式無窮。
　　有的朋友一定會思考，這些平方等和、立方等和現象的背後，有沒有更深的內涵呢？這個問題已經接近本質，我知道更深的東西是什麼。這裡只寫一句開玩笑的話，答案與天地人三才之道有關。如果有機會再寫解洛書的文，或許我會詳細的談一談這個問題。說實話，作算術文章有點辛苦呢！需要反復演算，確認結果正確無誤。 　
八卦中的數字規律

　　九數
　　說起八卦，對中國人來說，實在是太熟悉了，歷代的數術文化都在運用八卦演易。
　　在古代的時候，人們一直是將八卦配上數字使用，常見的有先天八卦卦序數，將八卦映射到從一開始的八個數；也有後天八卦配上洛書九宮數，這個映射多了點內容，因為八卦配九數，那要求有個卦要對映兩個數字。
　　有個非常實際的例子，我們搜索正見網針灸類文章，有一篇《中醫基礎：靈龜八法》，這篇文章講的就是後天八卦配上洛書九數，結果在針灸中有著奇妙的運用。
　　和所有的中國數術文化一樣，八卦同樣只運用九數，沒有複雜的計算，更談不上近代的西方數學。
　　那麼，八卦在西方數學眼中會是什麼樣的呢？不用太多的例子，我們只搜集兩個非常有趣的數字規律，涉及的數學內容，在西方文化中都是極具典範意義的。
　　規律之一：二進制與陰陽爻
　　西方人，萊布尼茲發明了二進制，這個方法只用0和1兩個數碼表示數。比如，六十四表示為1000000，三十二表示為100000。對今天的人來說，這是電腦數學。
　　萊布尼茲的時代，正是中國的清朝。那時候，有個傳教士在中國，給萊布尼茲寫了封信，信裡面畫了伏羲六十四卦方圓圖。
　　萊布尼茲看了後，得出的看法是，他所發明的二進制竟然在更古老的時候，就被東方的聖人所認識。
　　具體的內容，看上去很簡單，將陽爻換成1，陰爻換成0，那麼八卦就成了二進制表示數。按照這個辦法，結果就將自下而上的卦爻轉換成了自左至右的數位。
　　乾卦，表示111；兌卦，表示110；
　　離卦，表示101；震卦，表示100；
　　巽卦，表示011；坎卦，表示010；
　　艮卦，表示001；坤卦，表示000。
　　這樣，八卦就演變成了二進制中全部的三位元數。類似的，六爻卦有六十四個，正好表示了二進制中全部的六位元數。
　　萊布尼茲的這個發現非同小可，他甚至說：
　　現在如有一聖人欲選擇一優秀民族，加以獎勵，那麼，他的金蘋果的賜與，一定會落到中國人的身上。
　　規律之二：八週期與黃金比
　　在西方歷史上，人們很早就認識了黃金比，近似的數值是0.618。這個數位經常出現在一些藝術作品中。黃金比的準確數值，是個不迴圈的無限小數，可以有分數來近似的表示。
　　和黃金比相關的是一個著名的數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，這個數列可以無止境的寫下去，規律是相鄰的兩個數，其和正好是緊接在後面的一個數。
　　0+1=1；1+1=2；1+2=3；2+3=5；......　　這個數列被稱作斐波那契數列，任取相鄰的兩個數，前一個與後一個的比值可以近似的表示黃金比，而且越靠後，越接近黃金比的真實值。
　　實際演算正是如此：1/2=0.5；3/5=0.6；8/13=0.61538...；
　　89/144=0.618055...；987/1597=0.618033...；
　　黃金比=0.618033...。
　　非常有趣的是，這個數列竟然可以和八卦溝通上。在“規律之一”的基礎上，將每個卦的陰爻數目（或陽爻數目）羅列出來。實際上，相當於統計那些三位數中0與1的個數。
　　乾卦，表示111，陽爻三，陰爻零；
　　兌卦，表示110，陽爻二，陰爻一；
　　離卦，表示101，陽爻二，陰爻一；
　　震卦，表示100，陽爻一，陰爻二；
　　巽卦，表示011，陽爻二，陰爻一；
　　坎卦，表示010，陽爻一，陰爻二；
　　艮卦，表示001，陽爻一，陰爻二；
　　坤卦，表示000，陽爻零，陰爻三。
　　按照先天八卦的順序，從乾卦開始，反時針方向排列八卦，順序如下：乾卦、兌卦、離卦、震卦、坤卦、艮卦、坎卦、巽卦，巽卦過了回到乾卦，如此構成環狀排列。
　　現在，可以寫出八卦和上面數列的對照表了。
　　乾卦，表示111，陰爻零，0，21，987　　兌卦，表示110，陰爻一，1，34，1597　　離卦，表示101，陰爻一，1，55，2584　　震卦，表示100，陰爻二，2，89，4181　　坤卦，表示000，陰爻三，3，144，6765　　艮卦，表示001，陰爻二，5，233，...　　坎卦，表示010，陰爻二，8，377，...　　巽卦，表示011，陰爻一，13，610，...　　這張表的要點在於，每行寫入的數，除以3的餘數，正好是該行卦中陰爻的數目。其中陰爻為零和陰爻為三，在同余意義下等效，都表示該行的數正好是3的倍數。
　　八卦是東方人得天獨厚的文化，站在西方數學角度來看，竟然也是如此有趣。 　
河圖中的數字規律

　　九數
　　漫談算術，先論洛書，後談八卦，已有二篇，本篇解河圖。古聖先賢，推卦演易，不外乎理、氣、象、數。
　　古人雲：天一生水，地六成之。這是古人的說法，歷代衍生出無數的著作。看上去，古人的說法，理論比較完備，有天有地，有陰有陽，有五行，有金木水火土，有諸數。
　　現代人，已經淡忘了古老的文化。在今天這個時代，人們看河圖，不過是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，按照某種特殊的方式排列而成。
　　我們走出古人的那種敘說方式，以數位的角度，從新解讀河圖。其實，即便是六歲的幼稚孩童，也可以認識河圖的。此種圓點表示數的圖式，對於開啟兒童的算術智慧有極高的價值。
　　先說河圖的排列方式。五放在中間，以上下左右來論，此為中。五之左，放三；三之左，放八。五之右，放四；四之右，放九。五之上，放二；二之上，放七。五之下，放一；一之下，放六。環繞五，放十，在中間。如此，諸數具足，河圖已成。

　　□□□七□□□
　　□□□二□□□
　　□□□+ □□□
　　八三□五□四九
　　□□□一□□□
　　□□□六□□□

　　觀察一下河圖，橫看，自左至右，依次為八、三、五、四、九；縱看，自上而下，依次為七、二、五、一、六；十在五旁。
　　圖中有諸數，可歸為五組。上方，有七、二；下方，有六、一；左方，有八、三；右方，有九、四；中間，有十、五。
　　河圖，自古以來多用圓點表示數，可以排列成圓圖的形式。我們這裡用數字，看上去是縱橫圖。
　　規律之一：珠算
　　在珠算之前，人們用的是籌算。今天的人熟悉珠算，不太瞭解籌算。我們以珠算為例。
　　在算盤上，用算珠表示數。上珠一顆表示五，下珠一顆表示一。上下相合，珠落數出，可以簡約的表示大數。這是加法。
　　下方，五一六，5+1=6；
　　上方，五二七，5+2=7；
　　左方，五三八，5+3=8；
　　右方，五四九，5+4=9；
　　中間，五十，5+5=10。
　　也可以用來表示減法，這相當於，撥去上珠。
　　下方，五一六，6-5=1；
　　上方，五二七，7-5=2；
　　左方，五三八，8-5=3；
　　右方，五四九，9-5=4；
　　中間，五十，10-5=5。
　　還可以用來表示進位規律。
　　下方，五一六，5+6=1+10；
　　上方，五二七，5+7=2+10；
　　左方，五三八，5+8=3+10；
　　右方，五四九，5+9=4+10。
　　古人發明珠算，採用的是五升十進制，下位滿五，向上位升一；本位滿十，向高位進一。
　　今天的時代，珠算依然有深厚的生命力。珠算的生命力，根基全在於加減運算。
　　規律之二：旋轉
　　取兩張河圖，按照下面的方式連線。
　　第一圖，七四相連，八二相連，六三相連，九一相連。
　　第二圖，七三相連，八一相連，六四相連，九二相連。
　　兩張圖對照，仔細看一下，第一圖是左手螺旋圖，順時針方向；第二圖是右手螺旋圖，反時針方向。
　　兩張圖，按照相同的方法取數，可以得出有趣的數位規律。
　　先看內旋模式。
　　74+82+63+91=310　　73+81+64+92=310　　74^2+82^2+63^2+91^2=24450　　73^2+81^2+64^2+92^2=24450　　[注：3^2表示三的平方，三三得九，其餘類似。]　　接著看外旋模式。
　　47+28+36+19=130　　37+29+46+18=130　　47^2+28^2+36^2+19^2=4650　　37^2+29^2+46^2+18^2=4650　　上面的取數方法，沒有用五，取的是兩位數，如果取三位數，也可以。將一、二、三、四都與五相連。
　　先看內旋模式。
　　745+825+635+915=3120　　735+815+645+925=3120　　745^2+825^2+635^2+915^2=2476100　　735^2+815^2+645^2+925^2=2476100　　接著看外旋模式。
　　547+528+536+519=2130　　537+529+546+518=2130　　547^2+528^2+536^2+519^2=1134650　　537^2+529^2+546^2+518^2=1134650　　相比之下，取三位數，更符合旋轉圖有個旋轉中心的規律。
　　上面的數字規律，運用了加法和平方。如果，按照別的方式取數，還可以發現一些有趣的數字規律。比如，可以用乘法，這裡就不多寫了。 　
由河圖推演先天八卦

　　九數
　　請看文的朋友搜索一下正見網，有正悟的文章《正悟中華文化系列》，正是看過此文，以及更早前梅花一點的文章，深受二位之啟發，我才開始算術漫談的。
　　該系列在第一篇中探討了河圖洛書，文章裡面寫道：“相傳上古三皇的伏羲氏時，黃河中現一龍馬(龍頭馬身)，背上有黑白點子構成的一幅圖，伏羲據此而演八卦，此圖名曰‘河圖’。有很多人都推導過這過程，均失敗了，就有人以為這是傳說，其實是真的，我後面篇幅會講八卦如何演生出來的。”該文已經登出好幾個月了。
　　那麼八卦到底是如何由河圖演生出來的呢？這個話題，大概很多人也會有興趣。作此篇，探討一下如何由河圖推演八卦。這裡的寫法，純粹是以算術為基礎展開各種線索的，立論是新穎的。實際上，在這個算術漫談中，我是盡力避免引用故紙堆中的說法，這樣會更純淨輕鬆。
　　河圖用了十，卦卻只有八。不用五與十，還有一、二、三、四、六、七、八、九這八個數。要建立河圖與八卦的映射，關鍵在於處理好數與卦的對映關係。
　　太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。一變為二，二變為四，四變為八。一之倍數者，為二；二之倍數者，為四；四之倍數者，為八。
　　十之半數者，為五；五之半數者，取整為二；二之半數者，為一。
　　加者為陽，減者為陰。
　　有倍有半，有加有減，如此河圖可演八卦。十為始，先經五之加減，又經二之加減，複經一之加減，如此三變，十可化生八數，八數可映八卦。
　　太極生兩儀：
　　十，加五，得十五，此為陽；
　　十，減五，得五，此為陰。
　　兩儀生四象：
　　十五，加二，得十七，此為陽陽；
　　十五，減二，得十三，此為陽陰；
　　五，加二，得七，此為陰陽；
　　五，減二，得三，此為陰陰。
　　四象生八卦：
　　十七，加一，得十八，半數為九，此為陽陽陽；
　　十七，減一，得十六，半數為八，此為陽陽陰；
　　十三，加一，得十四，半數為七，此為陽陰陽；
　　十三，減一，得十二，半數為六，此為陽陰陰；
　　七，加一，得八，半數為四，此為陰陽陽；
　　七，減一，得六，半數為三，此為陰陽陰；
　　三，加一，得四，半數為二，此為陰陰陽；
　　三，減一，得二，半數為一，此為陰陰陰。
　　依照先天八卦，卦名與陰陽卦爻的對映關係如下：
　　陽陽陽，此為乾卦；
　　陽陽陰，此為兌卦；
　　陽陰陽，此為離卦；
　　陽陰陰，此為震卦；
　　陰陽陽，此為巽卦；
　　陰陽陰，此為坎卦；
　　陰陰陽，此為艮卦；
　　陰陰陰，此為坤卦。
　　十歷經三變，所得取半數，化為一、二、三、四、六、七、八、九。
　　十變為九，歷經加五加二加一，對映陽陽陽，此為乾卦；
　　十變為八，歷經加五加二減一，對映陽陽陰，此為兌卦；
　　十變為七，歷經加五減二加一，對映陽陰陽，此為離卦；
　　十變為六，歷經加五減二減一，對映陽陰陰，此為震卦；
　　十變為四，歷經減五加二加一，對映陰陽陽，此為巽卦；
　　十變為三，歷經減五加二減一，對映陰陽陰，此為坎卦；
　　十變為二，歷經減五減二加一，對映陰陰陽，此為艮卦；
　　十變為一，歷經減五減二減一，對映陰陰陰，此為坤卦。
　　這樣，我們就由河圖推演出了八卦。
　　按照先天八卦的順序，八卦環狀排列，反時針方向依次為：乾卦，兌卦，離卦，震卦，坤卦，艮卦，坎卦，巽卦。
　　兌乾巽
　　離中坎
　　震坤艮
　　在環狀排列的八卦圖中，將每個卦換成對映的數位，中間寫上數位五，又可得如下數字圖式。
　　八九四
　　七五三
　　六一二
　　有趣的是，這個數字圖式，天然符合相對數字之和為十。如果將數字二和八調換，所得正好是洛書。注意，這個洛書和普通的排列，正好是左右翻轉了。
　　二九四
　　七五三
　　六一八
　　古人雲：窺其題意，辨其指歸。本篇屬作者己見，僅供參考。 　
旋機在河圖中的體現

　　九數
　　河圖與洛書，這兩張圖總是連繫在一起，好比神仙故事中的蕭史弄玉。前面我們已經介紹了洛書中的旋機，本篇繼續探討同樣的話題，我們將揭示河圖中也存在著一種旋轉機制。河圖中的旋機形式雖然與洛書不一樣，可旋轉的方式一樣有趣。
　　河圖用了十，這是洛書中沒有的。對於數字十和五，我們暫時不作考慮。只研究一、二、三、四、六、七、八、九這八個數字。
　　□□七□□
　　□□二□□
　　八三□四九
　　□□一□□
　　□□六□□
　　洛書，我們選取了外圓內方的圖式，這是非常合理的選擇。對於我來說，還有一個原因，萬年淳的名字好象挺不錯的。萬，讓人想到千百萬，這是數字。也讓人想到萬字元，而且洛書中正好有萬字元呢！萬年，當然很久了，久九同音。淳，有人說是酒挺淳的，咱不喝酒，那淳就說是純吧！本來我也畫了個圖，查找古人的論述，正巧碰見了萬年淳的圖，比較一下發現萬年淳的圖更簡明，更適合主題。
 　　類似的，對於河圖，我們選擇內外雙圓的圖式。自古河圖理解為圓圖，因此內外雙圓的構造是很自然的。不過，這裡採用的圖式增加了內外圓的連繫，在形式上和古圖有別。
　　內外雙圓河圖圖式構造如下：
　　畫兩個圓，小圓在大圓內，兩圓的圓心相同。五放在圓心，十在五旁。
　　小數放在小圓上，二在五的上方，一在五的下方，三在五的左方，四在五的右方。大數放在大圓上，七在二的上方，六在一的下方，八在三的左方，九在四的右方。縱向，七二五一六；橫向，八三五四九。
　　內外相連，先用弧線，連接七四、連接四六、連接六三、連接三七；又用弧線，連接八二、連接二九、連接九一、連接一八。
　　取兩張內外雙圓河圖圖式，按照下面的方法添加指向箭頭：
　　第一圖，大圓上，七指向九，九指向六，六指向八，八指向七。小圓上，二指向四，四指向一，一指向三，三指向二。兩圓之間，七指向四，四指向六，六指向三，三指向七；八指向二，二指向九，九指向一，一指向八。這是正向旋機圖。
　　第二圖，大圓上，七指向八，八指向六，六指向九，九指向七。小圓上，二指向三，三指向一，一指向四，四指向二。兩圓之間，七指向三，三指向六，六指向四，四指向七；八指向一，一指向九，九指向二，二指向八。這是反向旋機圖。
　　另一半誰算
　　正向取數：七四一，九一三，六三二，八二四。
　　反向取數：七三一，八一四，六四二，九二三。
　　741+913+632+824=3110　　731+814+642+923=　　741^2+913^2+632^2+824^2=2461050　　731^2+814^2+642^2+923^2=　　這個算術題，還是只算一半，另一半由看文的朋友自己完成吧！
　　大周天迴圈
　　正向取數：七四一三二九六八，九一三二四六八七，六三二四一八七九，八二四一三七九六。
　　反向取數：七三一四二八六九，八一四二三六九七，六四二三一九七八，九二三一四七八六。
　　74132968+91324687+63241879+82413796=311113330　　73142869+81423697+64231978+92314786=311113330　　74132968^2+91324687^2+63241879^2+82413796^2=24627464430717250　　73142869^2+81423697^2+64231978^2+92314786^2=24627464430717250　　這個例子，是最典型的一個。所選的數，都是八位數，在不允許重複的條件下，已經到頂了。可以說，其餘的一切，都是這個例子的變化形式。
　　請自己畫個圖，按照數位順序走一走吧！我想的是感覺在走周天迴圈路線呢！如果有人說是走迷宮，也行。大概說是高速公路，也不離譜吧！
　　五位數的例子
　　正向取數：七四一三二，九一三二四，六三二四一，八二四一三。
　　反向取數：七三一四二，八一四二三，六四二三一，九二三一四。
　　74132+91324+63241+82413=311110　　73142+81423+64231+92314=311110　　74132^2+91324^2+63241^2+82413^2=24626953050　　73142^2+81423^2+64231^2+92314^2=24626953050　　簡單小周天
　　正向取數：二四，四一，一三，三二。
　　反向取數：二三，三一，一四，四二。
　　24+41+13+32=110　　23+31+14+42=110　　24^2+41^2+13^2+32^2=3450　　23^2+31^2+14^2+42^2=3450　　這個例子，是在內部的圓上取數。如果在外部的圓上取數，同樣如此。這種情況，算作簡單小周天吧！確實很平淡。
　　最後，我們還是給看文的朋友留點算術練習吧！哈哈！這個不算辛苦的。
　　正向取數：七二九六八，九四六八七，六一八七九，八三七九六。
　　反向取數：七二八六九，八三六九七，六一九七八，九四七八六。
　　72968+94687+61879+83796=　　72869+83697+61978+94786=　　72968^2+94687^2+61879^2+83796^2=　　72869^2+83697^2+61978^2+94786^2=　　這個練習，相當於在大周天迴圈那個例子的基礎上，同時去掉了三個數位。
　　按照大周天迴圈路線，不斷的迴圈下去，我們可以取八個九萬九千九百九十九位數，然後自由的決定同時去掉某些數位上的數字，得出一些位元數少一點的數，同樣也有上面的加法等和現象。
　　一般來說，正向取數a，b，c，d；反向取數e，f，g，h，那麼就有，
　　數字等和：a+b+c+d=e+f+g+h。
　　平方等和：a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2。
　　淼是我的朋友，經常幫助我。淼說，你這文不看想著都頭暈，都是數字呢！看了頭暈。這個我也沒有辦法，咱只會寫這玩意。還算好的，淼說萬字元那篇，雖然枯燥還有點意思，淼給我的這個評價已經很高了。我若會寫輕鬆活潑的文，或許數字也就不那麼枯燥了吧！其實，數位也是文字的一個小家族嘛，捨棄了數位，這文字也就不圓滿了。 　
河圖洛書的仲介形式

　　九數
　　河圖與洛書，這兩張圖，有許多相同的特點。按照古人的說法：一六共宗，二七同道，三八為朋，四九為友，五十同德。表現在圖上，就是某些數總是排列在相鄰位置上。正是這個原因，造成了河圖洛書中出現了某些算術上的有趣現象。
　　在前面的短文中，我們已經看見了許多平方等和、立方等和的現象。然而，洛書中有無數的立方等和現象，河圖卻只有平方等和現象。這表明，從數字排列的角度來看，洛書的結構具有更豐富的特點。本篇，我們對照一下洛書與河圖，給出一種仲介形式的“縱橫圖”，使之溝通洛書與河圖。
　　從數位排列形式來看，洛書是三行三列，河圖是一縱一橫。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　□□□七□□□
　　□□□二□□□
　　□八三五四九□
　　□□□一□□□
　　□□□六□□□
　　現在考慮洛書的變化，請觀察洛書中“四九五一六”和“二七五三八”這兩條線。在萬字元那篇短文中，我們計算過這兩條線。仍然以五為中心，但是將這兩條線拉直，得到縱橫各一線的圖式。結果是，縱線為“四九五一六”，橫線為“八三五七二”。考慮到河圖的參照形式，應該讓小數在內，大數在外。接著調整一下，縱線變為“九四五一六”，橫線變為“八三五二七”。這個新的圖式，我們稱作“縱橫圖”。
　　從複雜度來看，這個“縱橫圖”似乎非常簡單，比洛書看上去簡單，但是又比河圖更接近人的常規思維。我想這大概是六、七歲小孩的一道算術題目吧！
　　圖片：洛書變化縱橫圖
　　我們已經在洛書與河圖中揭示了各自的一種有趣的迴圈路線。下面，我們以五為中心，選取三位數為例，將結果羅列出來。
　　洛書
　　第一組數：五九二，五七六，五一八，五三四。
　　第二組數：五九四，五三八，五一六，五七二。
　　 592+576+518+534=2220　　 594+538+516+572=2220　　 592^2+576^2+518^2+534^2=1235720　　 594^2+538^2+516^2+572^2=1235720　　 592^3+576^3+518^3+534^3=689842800　　 594^3+538^3+516^3+572^3=689842800　　河圖
　　第一組數：五二九，五四六，五一八，五三七。
　　第二組數：五四七，五二八，五三六，五一九。
　   529+546+518+537=2130　　 547+528+536+519=2130　　 529^2+546^2+518^2+537^2=1134650　　 547^2+528^2+536^2+519^2=1134650　　 529^3+546^3+518^3+537^3=604653210　　 547^3+528^3+536^3+519^3=604654290　　請注意，這裡立方和不等。
　　縱橫圖
　　第一組數：五四七，五二六，五一八，五三九。
　　第二組數：五二九，五四八，五三六，五一七。
　　 547+526+518+539=2130　　 529+548+536+517=2130　　 547^2+526^2+518^2+539^2=1134730　　 529^2+548^2+536^2+517^2=1134730　　 547^3+526^3+518^3+539^3=604781550　　 529^3+548^3+536^3+517^3=604781550　　將上面的計算結果對照一下，我們看見“縱橫圖”在排列形式上接近河圖，在數字算術上接近洛書，作為洛書與河圖的仲介形式是可取的。
　　由於縱橫圖在排列形式上與河圖接近，我們可以將河圖的那套旋轉機制安裝在縱橫圖上了。具體的連線，這裡就不寫了。看文的朋友，如果有興趣，可以自己去看有關河圖的那篇漫談。
　　縱橫圖內外大循環
　　正向取數：九二一三四七六八，七一三四二六八九，六三四二一八九七，八四二一三九七六。
　　反向取數：九三一二四八六七，八一二四三六七九，六二四三一七九八，七四三一二九八六。
　　92134768+71342689+63421897+84213976=311113330　　 93124867+81243679+62431798+74312986=311113330　　92134768^2+71342689^2+63421897^2+84213976^2=24692925520971730　　93124867^2+81243679^2+62431798^2+74312986^2=24692925520971730　　92134768^3+71342689^3+63421897^3+84213976^3=1997582820027709946741050　　93124867^3+81243679^3+62431798^3+74312986^3=1997582820027709946741050　　計算的結果非常好，正是我們預期的形式，出現了數字等和，平方等和，以及立方等和。
　　這個縱橫圖內外大循環，已經包含了內外雙圓上的全部八個數位。其餘的一切加法等和現象，都可以看作是這個結果的變化形式，在規模上是無窮無盡。更多的算式，我們就不再寫出來了。看文的朋友，如果有興趣，可以對照河圖那篇，自己作一些算術練習。
　　從算術的角度看，河圖洛書，他們是非常簡單的構圖。縱橫圖作為一種仲介形式，溝通河圖與洛書，應該是可以成立的。不過，這裡仍然只是揭示數字現象，還沒有講出這些現象在算術上的原理。這個問題，我想看文的朋友，如果有興趣，一定會自己去探尋的。如果詳細的寫，那這漫談就變成了數學公式的證明。我想結果一定會被我的朋友繼續說成是枯燥的文。
　　對我來說，指出河圖洛書中存在著有趣的數字現象，就已經完成了這個算術漫談。至於洛書河圖有什麼妙用，他們能不能匯出一些新的啟示，完全超越了漫談的範圍。數，在古人眼中，可以經緯三才，控布四時。我知道洛書河圖，即使按照今天人純粹的數位觀念，也可以在天災資訊預測上有所作為。 　
洛書與十進制計數體系

　　九數
　　歷史上一直流傳的洛書，本身沒有任何數字，只有圓點。從圓點形式，到中文數位形式，最後到今天的阿拉伯數字形式，看上去越來越簡略，要記錄這個圖式所需的書寫量越來越少。但是，形式越接近今天的人，也越容易被今天人的觀念所局限。
　　這篇正好是第十篇，我們就來談點與十有關的話題吧！洛書只有九數，不過相對兩數之和都是十。看上去，洛書與十連繫密切。
　　我們前面作算術，寫了許多數位計算的實例。仔細想一下，發現洛書本身並沒有提供數的進位制表示。這樣看的話，洛書與十進制計數體系沒有固定的連繫。我們用十進制計數體系，完全是因為今天的人類用的是這個計數體系。歷史上，瑪雅人採用的是二十進制計數體系。更古的時候，有的民族採用了六十進制計數體系。這些計數體系下，人們看洛書，肯定會在自己的體系內作一番推演。
　　按照這個看法，我們前面寫的那些數字計算，實際上都可以說成是數學公式。下面舉一個例子說一下。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　偶數圓周
　　正向取數：四九二七六一八三，二七六一八三四九，六一八三四九二七，八三四九二七六一。
　　反向取數：四三八一六七二九，八一六七二九四三，六七二九四三八一，二九四三八一六七。
　　數之和等
　　 49276183+27618349+61834927+83492761=222222220　　 43816729+81672943+67294381+29438167=222222220　　平方和等
　　49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2=13985514749033740　　43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2=13985514749033740　　立方和等
　　49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3=959177030199175157646100　　43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3=959177030199175157646100　　這只是計算提供的一個結果，結果表明加法等和現象存在。我們取數“四九二七六一八三”，接著表示為“49276183”，經過這個轉換，進入了十進制計數體系。可是這個轉換完全可以採用不同的計數體系。
　　這樣看的話，我們取數，實際上是在給出下面“加法等和方程組”的一組解。
　　數之和等：a+b+c+d=e+f+g+h；
　　平方和等：a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2；
　　立方和等：a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。
　　這裡引用的“偶數圓周”的例子，可以看成是下面的形式。
　　a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8，
　　b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8，
　　c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8，
　　d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8，
　　e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8，
　　f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8，
　　g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8，
　　h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8。
　　其中x_1，x_2，x_3，x_4，x_5，x_6，x_7，x_8為參數。如果對參數選取某些數值代入，我們就進入了不同的計數體系。
　　對於加法等和方程組來說，我們寫出這樣的一組解並沒有作任何“解方程”的事情，完全是由洛書的迴圈機制自動給我們提供的。
　　不同的文化，曾經都有自己的進位制計數體系，這似乎是個非常有意思的話題。瑪雅人採用了二十進制計數體系，在他們的文化中，有關於一九九二年到二零一二年地球人類處於銀河淨化期的研究。
　　今天的人採用十進制計數體系，這個數字十容易讓人想到十天干。還有的民族曾經採用過十二進制計數體系，這個體系或許與十二地支有關。至於採用六十進制計數體系的，那完全可以理解為六十甲子的一種表現。六十甲子同樣有預測功能，比如一九四三年和二零零三年，相隔六十年。二零零三年是癸未年，薩斯病很厲害的。歷史記載，一九四三年癸未年，北京霍亂流行。
　　雖說洛書與十進制計數體系沒有固定的連繫，我們仍然可以習慣於在十進制計數體系中生活，只是對計算中獲得的結果要作廣義的理解。這樣才不會被十進制計數體系所局限。 　
洛書中蘊涵著天地人轉盤

　　九數
　　在寫這篇之前，剛得到一個消息，我的朋友蓮告訴我，前天的漫談不知所云。這對我來說，真有點無言以對呢！也許是我的表達方式還不太完善吧！確實，我的文章筆法比較笨拙。多年來，數位已然成了我思維的方式，這一點讓朋友們看了我的文後感覺枯燥。既然選擇了這個算術漫談的形式，在數言理，那還是繼續吧——寫完這第九篇。我想，太具體的細節，太多的設想，或許不必都寫了。通過這個漫談，講出一點洛書中有趣的數字現象，我的目地也就達到了吧！天下之大，看文的朋友中，一定會有對這些感興趣的。請相信我，這些算式都是九數神思和反復演算後寫下的結果。
　　我們在前面的算術漫談中，已經揭示了洛書中存在著數字等和、平方等和、立方等和的一種自動生成機制。實際上，從數學的角度看，這相當於在解方程。
　　a+b+c+d=e+f+g+h　　a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2　　a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3　　這是一組方程，含有八個未知數，次數最高是三次。我們每次選取的數，實際上都在給出這方程的一組解。
　　然而，這種解方程的辦法實在是非常有趣，我們並沒有任何解方程的代數運算。完全是靠洛書自身的旋轉機制生成方程的解。也就是說，這些解是生成的，而不是對方程作某些代數操作解出的。
　　這組方程中，數字等和，平方等和，立方等和，非常有規律。這裡的方程次數，一，二，三，漸次升高。這個現象引起我的深思，為什麼會這樣呢？最終，數位三讓我認識到也許與天地人三才之道有關吧！
　　天在上，地在下，人生天地間。這是人類最直觀的認識。既然我們是用旋機來解釋迴圈現象的，那麼一張洛書，自然可以看作是一部旋轉機器了。如此觀之，天地人三才，那應當需要三張洛書了。接著，我產生了一個新的想法，將三張洛書疊放在一起。這時，每部洛書都是一部旋機。整體上看，構成了天地人三層轉盤系統。
　　如果用圖式來表現，我們可以簡單設計一下。
　　取三張圓盤，半徑依次增大。將其疊放在一起，中間立一根軸，貫通三張盤。最下面放大盤，在中間放中盤，最上面放小盤。將小盤稱作天盤，中盤稱作人盤，大盤稱作地盤。接著，在每張圓盤的邊緣處均勻劃分八個刻度，一律按照順時針方向，依次寫上數位四、九、二、七、六、一、八、三。最後在軸上加一個指標。
　　四九二
　　三軸七
　　八一六
　　在這個轉盤系統中，沒有用數位五，洛書中數字五的位置安放了一根貫通三才的軸。看文的朋友，如果有興趣的話，請自己動手製作這樣的一個轉盤吧！要想看清楚後面的數位實例，有個實際的轉盤模型，會更容易一點。
　　和前面的旋機形式一樣，在這個轉盤系統中，同樣出現非常有趣的數字規律。
　　天盤：正向取數為a1，b1，c1，d1；反向取數為e1，f1，g1，h1。
　　人盤：正向取數為a2，b2，c2，d2；反向取數為e2，f2，g2，h2。
　　地盤：正向取數為a3，b3，c3，d3；反向取數為e3，f3，g3，h3。
　　那麼有下面的“轉盤數字規律”。
　　 a1+b1+c1+d1=e1+f1+g1+h1　　 a1*a2+b1*b2+c1*c2+d1*d2=e1*e2+f1*f2+g1*g2+h1*h2　　a1*a2*a3+b1*b2*b3+c1*c2*c3+d1*d2*d3=e1*e2*e3+f1*f2*f3+g1*g2*g3+h1*h2*h3　　[注：這裡“*”表示乘法。]　　注意，我們總要求各層轉盤之間保持一種奇偶同性的狀態。比如天盤的刻度五、人盤的刻度一、地盤的刻度九正好對齊；再比如天盤的刻度二，人盤的刻度六，地盤的刻度二對齊。如果採用古人的辦法，將偶數當作陰數，奇數當作陽數，那麼這種要求非常象天干地支組合成六十甲子的方式，陽幹對陽支，陰乾對陰支。反過來說，六十甲子系統，也是一種天干地支轉盤系統，只不過是天盤地盤兩層而已。
　　對於整個天地人轉盤系統來說，有一個極特殊的情形，也就是三層轉盤取數結果一致。
　　此時，正向取數a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，c1=c2=c3=c，d1=d2=d3=d；
　　反向取數e1=e2=e3，f1=f2=f3=f，g1=g2=g3=g，h1=h2=h3=h。
　　按照前面的轉盤數字規律，得到的恰好是下面的“旋機數字規律”。
　　a+b+c+d=e+f+g+h　　a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2　　a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3　　可見，我們前面認識的洛書旋機數位規律，正是轉盤數位規律的一種特殊表現。
　　現在，我們來看一些實際演算的數字算式。
　　先看個選取二位數的。此時，指標指向天盤數字六。設定天盤數位六、人盤數位四、地盤數位二，此三者對齊。
　　天盤正向取數：六一，八三，四九，二七。
　　人盤正向取數：四九，二七，六一，八三。
　　地盤正向取數：二七，六一，八三，四九。
　　天盤反向取數：六七，二九，四三，八一。
　　人盤反向取數：四三，八一，六七，二九。
　　地盤反向取數：二九，四三，八一，六七。
　　61+83+49+27=220　　67+29+43+81=220　　61*49+83*27+49*61+27*83=10460　　67*43+29*81+43*67+81*29=10460　　61*49*27+83*27*61+49*61*83+27*83*49=575300　　67*43*29+29*81*43+43*67*81+81*29*67=575300　　再看個特殊的例子，仍然選取二位數。此時，指標指向天盤數字四。設定天盤數位四、人盤數位四、地盤數位四，此三者對齊。
　　天盤正向取數：四九，二七，六一，八三。
　　人盤正向取數：四九，二七，六一，八三。
　　地盤正向取數：四九，二七，六一，八三。
　　天盤反向取數：四三，八一，六七，二九。
　　人盤反向取數：四三，八一，六七，二九。
　　地盤反向取數：四三，八一，六七，二九。
　　49+27+61+83=　　43+81+67+29=　　49*49+27*27+61*61+83*83=　　43*43+81*81+67*67+29*29=　　49*49*49+27*27*27+61*61*61+83*83*83=　　43*43*43+81*81*81+67*67*67+29*29*29=　　接著看一個選取四位數的例子。此時，指標指向天盤數字四。天盤數位四、人盤數位八、地盤數位二，此三者對齊。
　　天盤正向取數：四九二七，二七六一，六一八三，八三四九。
　　人盤正向取數：八三四九，四九二七，二七六一，六一八三。
　　地盤正向取數：二七六一，六一八三，八三四九，四九二七。
　　天盤反向取數：四三八一，八一六七，六七二九，二九四三。
　　人盤反向取數：八一六七，六七二九，二九四三，四三八一。
　　地盤反向取數：二九四三，四三八一，八一六七，六七二九。
　　4927+2761+6183+8349=　　4381+8167+6729+2943=　　4927*8349+2761*4927+6183*2761+8349*6183=　　4381*8167+8167*6729+6729*2943+2943*4381=　　4927*8349*2761+2761*4927*6183+6183*2761*8349+8349*6183*4927=　　4381*8167*2943+8167*6729*4381+6729*2943*8167+2943*4381*6729=　　後面這兩個例子，看文的朋友，如果有興趣，就當作作算術練習吧！更多的例子，更大數目的例子，我們就不再羅列了。實際上，取數的方法，大家製作個轉盤模型，細心參照這裡給出的例子，自然會明白的。
　　現在，我們可以對從前的數字等和、平方等和、立方等和這些加法等和現象給出一個簡單的說明了。數位等和，是天盤自身的數字規律體現；平方等和，是天盤對人盤相互作用的數字規律體現；立方等和，是天盤對人盤以及地盤相互作用的數位規律體現。
　　從洛書，到萬字元，到旋機，再到轉盤，我們一路走來。你看，小小的洛書，多麼的神奇啊！確實，簡單的九數演出神奇的算式，玄妙的排列蘊涵獨特的結構，這一切是多麼的不可思議啊！ 　
河圖洛書與九數歸真

　　九數
　　前面的漫談中，我們已經寫了許多河圖洛書生成的算式。基本上都是一種加法等和現象，具體表現為數字等和，平方等和，立方等和，漸次提升。我看到，很多人感到驚奇，這小小的圖式中竟然有這麼多有規律的算式。也就是說，沒有任何古代數術的概念，一樣可以認識河圖洛書。這樣看的話，河圖洛書在今天人的淺白數字觀念層面同樣會有令人驚奇的表現。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　如果要對洛書作個總結的話，加法等和現象可以描述我們所見的圖式。
　　橫線：4+9+2=3+5+7=8+1+6=15　　縱線：4+3+8=9+5+1=2+7+6=15　　對角線：4+5+6=2+5+8=15　　相對：4+6=2+8=3+7=1+9=10　　□□七□□□□□七□□
　　□□二□□□□□二□□
　　八三五四九□八三十四九
　　□□一□□□□□一□□
　　□□六□□□□□六□□
　　類似的，對河圖作個總結，減法等差現象可以描述我們所見的圖式。
　　各方：6-1=7-2=8-3=9-4=10-5=5　　這裡，我們用了“加法等和”與“減法等差”兩種說法。如果仔細推敲的話，兩者並沒有截然的區分。可以用算式表達如下。
　　減法等差：8-3=9-4　　加法等和：8+4=9+3　　這裡寫的是最基本的數字規律，很簡單的算術。其餘的一切數字規律，都是從這裡推演生成的。
　　自然，我們會提出一個問題：從河圖洛書中總結出的“加法等和”現象，有多大的概括力？這個問題很關鍵，決定著河圖洛書的價值。
　　在整個數理體系中，“加法等和”是不是一條基本原理呢？這個問題引起了我的深深思考。
　　在大法中，我獲得了一些有趣的啟示。 
　　我們一起來看大法書《轉法輪》吧！仔細看目錄，我們看見目錄裡有許多的題目。請數一數，我們記下每講中題目的個數。
　　從第一講到第九講，依次排列為： 
　　第一講，包含七個題目。 
　　第二講，包含五個題目。 
　　第三講，包含十個題目。 
　　第四講，包含五個題目。 
　　第五講，包含八個題目。 
　　第六講，包含七個題目。 
　　第七講，包含五個題目。 
　　第八講，包含七個題目。 
　　第九講，包含六個題目。 
　　目錄順序：一二三四五六七八九； 
　　題目個數：七五十五八七五七六。
　　我們看完第九講，回到第一講，從新開始。可以想像一下，從第一講到第九講，按照順序排列，迴圈的樣子。
　　啟示之一： 
　　如果從第一講開始，按照順序排列，排列成三組，形式如下：
　　一二三四；
　　五六七八；
　　九。
　　計算後，我們發現，第一、二、三、四講，這四講有二十七個題目；第五、六、七、八講，這四講同樣也有二十七個題目。
　　7+5+10+5=27　　8+7+5+7=27　　你看，多麼均衡啊！
　　如果細看的話，這其中還包括一種微觀的對稱。也就是，第一、二講和第七、八講，每組都有十二個題目；第三、四講和第五、六講，每組都有十五個題目。
　　7+5=5+7=12　　10+5=8+7=15　　這真是太奇妙了！我想起，無論是太極圖，還是卍字元，都是非常均衡，呈現中心對稱的圖形。
　　啟示之二： 
　　如果從第二講開始，三三得九，按照順序排列，恰好排列成三組，形式如下：
　　二三四；
　　五六七；
　　八九一。
　　計算後，我們發現，第二、三、四講，這三講合計有二十個題目；第五、六、七講，這三講也有二十個題目；第八、九、一講，這三講同樣還是二十個題目。
　　5+10+5=20 　　8 +7+5=20 　　7 +6+7=20　　不可思議的均衡！這讓我想起了天，地，人，三才之道。此外，洛書裡也有和這近似的現象呢！ 
　　啟示之三： 
　　從第三講開始，按照順序排列，排列成二組，形式如下：
　　三四五六；
　　七八九一二。
　　計算一下，我們發現，第三、四、五、六講，這四講正好三十個題目；第七、八、九、一、二講，這五講也是正好三十個題目。 
　　10+5+8+7=30　　5+7+6+7+5=30　　你看，全部的題目，排列成二組，每組三十個，而且是連續的組成三十。這讓我想起太極陰陽的道理。
　　啟示之四： 
　　從第四講開始，按照順序排列，排列成三組，形式如下：
　　四五六七；
　　八九一二；
　　三。
　　計算一下，我們發現，第四、五、六、七講，這四講正好有二十五個題目；第八、九、一、二講，這四講也正好有二十五個題目。 
　　5+8+7+5=25　　7+6+7+5=25　　你看，這個也非常均衡呢！ 
　　啟示之五： 
　　從第一講到第九講，按照東南西北中五方，縱橫兩條線的方法排列，形式如下： 
　　□□五□□
　　□□一□□
　　六二九三七
　　□□四□□
　　□□八□□
　　計算一下，我們發現，在橫線上，第六、二、九、三、七講，這五講有三十三個題目；在縱線上，第五、一、九、四、八講，這五講也是有三十三個題目。 
　　7+5+6+10+5=33　　8+7+6+5+7=33　　注意，六、二、九、三、七，其和為二十七；五、一、九、四、八，其和也為二十七。這個排列是縱橫十方的形式。你看多麼神奇啊！
　　我想起，洛書中的卍字元，以及河圖，與這有點近似。
　　啟示之六： 
　　我們計算一下，從第一講到第九講，全部的題目有多少個？這是個簡單的算術問題。七、五、十、五、八、七、五、七、六，對這九個數字加法求和。
　　7+5+10+5+8+7+5+7+6=60　　計算的結果，九個數字，總和為六十。
　　你看，這個數目可真常見啊！讓人想起天干地支組成了甲子的數目六十。六十甲子，自古以來，迴圈不已。宇宙中，法輪在轉動；人世間，生命在輪回；輪回中，等待著今生——追尋大法！
　　我寫這算術漫談，一直是在寶寶的支持和鼓勵下完成的。說來好笑，第一篇短文其實是寶寶催出來的。我對寶寶說，我要寫文章了，可老半天沒有動靜呢！這篇短文裡的一些思考，曾經和寶寶一起交流過，寶寶說我是用數字的眼光看世界。
　　細看這漢字“九數”，竟然描繪著一幅奇妙的圖畫。洛書有九，河圖用十。正體的“數”字，左邊上方的筆劃，有十方世界上下貫通的形象，這正是河圖洛書的本義；“數”字左邊下方的筆劃，有個女，女人的形像；“數”字右邊的筆劃，有個反文，返本歸真的文。這些筆劃合在一起，對我來說，正是描繪著我在寶寶（姑娘）的催促、支持、鼓勵下，漫談洛書河圖八卦，寫九數歸真的文章。傳神的漢字，殊勝的法緣，一切的一切，竟然是這般玄妙。 　
八卦的簡單立體模型

　　九數
　　前面寫了些解洛書的短文，幾乎都是純粹的算式推演，而且涉及的數目很大。菊花小妹對我說，這算術漫談後面有點難了。我想大概有兩個原因吧！一個是數的計算，結果的真實並非一目了然，尤其大數目讓人感到枯燥，雖然如此，古代教育中“六藝”也包括“九數”呢；另一個是不太熟悉這些傳統的術語吧！可是在古代社會，八卦是儒生的基礎知識。有興趣的朋友，可以搜尋正見網文章《淺說八卦》，可以獲得簡明純正的基礎知識。
　　說起先天八卦，有一段話人們非常熟悉的。這就是：太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。這個演化過程，從數來看，由一變為二，由二變為四，由四變為八。只看這個倍數規律，有一個非常類似的圖形演變過程：從點到線段，從線段到正方形，從正方形到立方體。
　　點，那就是一個點；線段，有二個端點；正方形，有四個頂點；立方體，有八個頂點。從點的數目來看，也是一，二，四，八的順序。由此，我們可以用立方體建立一個先天八卦的模型。這個模型和普通的平面圖式相比，有自己的獨到之處。
　　依照先天八卦，卦名與陰陽卦爻的對映關係如下：
　　陽陽陽，此為乾卦；陽陽陰，此為兌卦；陽陰陽，此為離卦；陽陰陰，此為震卦；
　　陰陽陽，此為巽卦；陰陽陰，此為坎卦；陰陰陽，此為艮卦；陰陰陰，此為坤卦。
　　接著，將卦轉換為數，採用二進制的辦法。陽爻換為1，陰爻換為0，這樣八卦正好表達了二進制中的全部三位元數。前面的短文裡，我們說過，這個轉換是幾百年前德國人萊布尼茲的創見。八卦與二進制數的對映關係如下：
　　乾卦，表示111；兌卦，表示110；離卦，表示101；震卦，表示100；
　　巽卦，表示011；坎卦，表示010；艮卦，表示001；坤卦，表示000。
　　接著，將這些數映射到立體的直角坐標系中。比如，100對映（1，0，0）。這裡，坐標系採用右手系。八卦與直角坐標系中座標的對映關係如下：
　　乾卦，表示（1，1，1）；兌卦，表示（1，1，0）；
　　離卦，表示（1，0，1）；震卦，表示（1，0，0）；
　　巽卦，表示（0，1，1）；坎卦，表示（0，1，0）；
　　艮卦，表示（0，0，1）；坤卦，表示（0，0，0）。
　　有了這些座標，我們可以畫出這個立方體了。有興趣的朋友，請自己畫一個吧！直觀上看，立方體的上底面，按照反時針方向排列艮卦，離卦，乾卦，巽卦；下底面，按照反時針方向排列坤卦，震卦，兌卦，坎卦。
　　艮巽
　　離乾[注：此為上底面的四個頂點]　　坤坎
　　震兌[注：此為下底面的四個頂點]　　現在，我們簡單的分析一下這個立體模型的特點。
　　一、坤卦，陽爻數目為零。
　　二、艮卦、坎卦、震卦，這三個卦，陽爻數目均為一。
　　三、兌卦、離卦、巽卦，這三個卦，陽爻數目均為二。
　　四、乾卦，陽爻數目為三。
　　很明顯，按照陽爻數目分類，資料呈現“一三三一”的分佈。從算術的角度來看，這個分佈讓人想起非常有趣的“楊輝三角”。
　　一
　　一，一
　　一，二，一
　　一，三，三，一
　　一，四，六，四，一
　　楊輝是兩宋時期傑出的算學家，對洛書有非常精深的研究，留下了簡明的口訣：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。順便說一句，這口訣的後四句蘊涵著很有趣的中醫道理呢！楊輝由洛書的研究，匯出許多有趣的縱橫圖流傳後世，其中有些圖式的構造程式，現今還無人揭示。楊輝三角，是一個數字排列，每行的數字之和，依次為一，二，四，八，如此繼續。這個序列正好是太極演化的數字序列。
　　在上篇短文裡，我寫過一點從大法中獲得的啟示，主要寫的是“加法等和”現象。這一篇，繼續談一點個人的粗淺認識。我們記下了大法書《轉法輪》每講中題目的個數。從第一講到第九講，依次排列為： 
　　第一講，包含七個題目。 
　　第二講，包含五個題目。 
　　第三講，包含十個題目。 
　　第四講，包含五個題目。 
　　第五講，包含八個題目。 
　　第六講，包含七個題目。 
　　第七講，包含五個題目。 
　　第八講，包含七個題目。 
　　第九講，包含六個題目。 
　　目錄順序：一二三四五六七八九； 
　　題目個數：七五十五八七五七六。
　　仔細看這一組資料，我們發現從第一講到第八講，出現的題目個數非常奧妙。
　　十個的，出現了一次；七個的，出現了三次；
　　五個的，出現了三次；八個的，出現了一次。
　　這個“一三三一”的資料分佈，引起了我的深深思考，這不正好是“楊輝三角”的數字排列嗎？！就這樣，我獲得了新的啟示：也許在這裡可以看見太極的演化吧！
　　接著，我想到，將這第一講到第八講的題目個數排列在上面的立方體的頂點上。按照最自然的排列，乾卦的位置排列第三講；坤卦的位置排列第五講；艮卦的位置排列第一講；離卦的位置排列第二講；巽卦的位置排列第四講；震卦的位置排列第六講；兌卦的位置排列第七講；坎卦的位置排列第八講。
　　直觀上看，立方體的上底面，按照反時針方向排列第一講到第四講的題目個數；下底面，按照反時針方向排列第五講到第八講的題目個數。
　　一四
　　二三[注：此為上底面的四個頂點]　　五八
　　六七[注：此為下底面的四個頂點]　　現在我們計算下這個立方體排列的數字特點。立方體有八個頂點，十二條棱，六個面。
　　一、八個頂點
　　在相對頂點上，排列著第三講和第五講，第三講包含十個題目，第五講包含八個題目。第二、四、七講排列成正三角形，每講五個題目；第一、六、八講排列成正三角形，每講七個題目。
　　10　　5=5=5　　7=7=7　　8　　二、十二條棱
　　所有十二條棱，可以分為三組。
　　第一組：三二相連，三四相連，三七相連。兩端點的題目個數之和為十五，包含三條棱。
　　10+5=10+5=10+5=15　　第二組：一二相連，二六相連，六七相連，七八相連，八四相連，四一相連。兩端點題目個數之和為十二，包含六條棱。
　　7+5=5+7=7+5=5+7=7+5=5+7=12　　第三組：五一相連，五六相連，五八相連。兩端點的題目個數之和為十五，包含三條棱。8+7=8+7=8+7=15　　三、六個面
　　上底，出現第一、二、三、四講；下底，出現第五、六、七、八講。上底和下底，各排列二十七個題目。
　　上底7+5+10+5=27　　下底8+7+5+7=27　　左側，出現第一、二、五、六講；右側，出現第三、四、七、八講。左側和右側，各排列二十七個題目。
　　左側7+5+8+7=27　　右側10+5+5+7=27　　前面，出現第二、三、六、七講；後面，出現第一、四、五、八講。前面和後面，各排列二十七個題目。
　　前面5+10+7+5=27　　後面7+5+8+7=27　　現在對這個立方體排列的數字特點，簡單的總結如下：
　　一，這表示第九講的題目個數並不排列在立方體的頂點。
　　一一，這是六個面的資料分佈特點，相對面是均衡的。
　　一二一，這是十二條棱的資料分佈特點，三六三的約簡形式。
　　一三三一，這是八個頂點的資料分佈特點。
　　在這篇短文裡，我們簡單的介紹了一個先天八卦的立體模型，同時也寫出了我從大法書《轉法輪》的目錄排列中獲得的一點有趣啟示。對我來說，認識到這樣一種非常均衡非常對稱的結構，實在是妙不可言。小小的立方體，多麼簡單的排列，看似平凡的“一三三一”，平凡的背後卻有著無盡的玄妙，這一切是多麼神奇啊！
　　如果不採用立體模型，直接看最簡單的平面模型，那也是非常有趣的。如果，你將這個平面圖式看作是一個正八邊形，更容易理解。有興趣的朋友，自己可以計算一下。
　　二一五
　　三九六
　　四八七
　　河圖洛書八卦，這些古老的文化，在浩瀚的宇宙智慧中，只是微不足道的小小一粒子，能夠在證實大法中獲得新生，這才是他們未來的無限生機。　
棄九驗算法與年月日

　　九數 
　　寫了前面的這些短文，我漸漸的明白了一個道理，要讓人看清楚的話，一定要細緻。這樣，思想的表達更清晰，更容易讓人明白要表達的是什麼。本篇繼續以算術的方式講道理。這和古人的在數言理，還真有點象呢！
　　一、充滿災難的2008年
　　今年是西元2008年，對於我們中國人來說，這是充滿災難的一年。有一組資料和算式，在網路上流傳非常廣泛。
　　2008年1月25日——南方雪災：1＋2＋5＝8；
　　2008年3月14日——西藏事件：3＋1＋4＝8；
　　2008年5月12日——四川地震：5＋1＋2＝8。
　　有些計算非常細緻，這裡只收錄其中最簡單的三個算式。仔細搜尋正見網，我看見有幾篇有趣的文章，也在探討其中的數字規律。這些算式，看上去很簡單，簡單到有點不可思議！這是數字遊戲？或是偶然巧合？或是天機神意？
　　這樣算能成立嗎？這個問題，引起了我的思考。最終，我想到，這演算法古已有之！
　　二、有趣的棄九驗算法
　　演算法並不神秘，就是古人用來檢驗計算是否正確的“棄九驗算法”。原理很簡單，“棄九”，顧名思義，那就是去掉九。我們用實際例子來說明。
　　比如，三位數一百二十三，記作123。用箭頭“→”表示去掉九。
　　123=100+20+3；
　　100=99+1→1；
　　20=9+9+2→2；
　　3→3。
　　這樣123，棄九後的結果為1+2+3。
　　再看一個例子，四位數三千五百四十一，記作3541。
　　3541=3000+500+40+1；
　　3000=999+999+999+3→3；
　　500=99+99+99+99+99+5→5；
　　40=9+9+9+9+4→4；
　　1→1　　這樣3541，棄九後的結果為3+5+4+1。
　　看了這兩個例子，我們得出一個結論，其實一個數“棄九”的結果，相當於直接計算該數各位上的數字之和。看一點例子。
　　23→2+3=5　　108→1+0+8=9　　2008→2+0+0+8=10　　接下來，我們簡單的介紹一下“棄九驗算法”。這裡，只寫加法和乘法。減法和除法，可以轉換為加法和乘法。
　　[1]檢驗加法
　　看一個錯誤的算式：345+567=832。
　　檢驗如下：
　　345→3+4+5=12，繼續12→1+2=3；
　　567→5+6+7=18，繼續18→1+8=9，繼續9→0；
　　832→8+3+2=13，繼續13→1+3=4。
　　算式左邊，棄九結果為3+0=3；算式右邊，棄九結果為4，左右矛盾。
　　正確的算式：345+567=912。
　　[2]檢驗乘法
　　看一個錯誤的算式：13*30=490。
　　檢驗如下：
　　13→1+3=4；
　　30→3+0=3；
　　490→4+9+0=13，繼續13→1+3=4。
　　算式左邊，棄九結果為4*3=12，繼續12→1+2=3；算式右邊，棄九結果為4，左右矛盾。
　　正確的算式：13*30=390。
　　任意寫一個數，經過不斷的“棄九”運算，最終可以歸結為一、二、三、四、五、六、七、八、九（或零）這九個數字中的某一個。注意，在棄九運算中，零與九是等效的。從餘數的角度看，凡是九的倍數，都歸結為零。
　　我們看一些數字演算的例子。
　　345678→3+4+5+6+7+8=33→3+3=6　　778866994423→7788664423→7+7+8+8+6+6+4+4+2+3=55→5+5=10→1+0=1　　234→2+3+4=9　　99999→0　　這個結果意味著，一切自然數都可以歸結為洛書中的某個數位。這相當於建立了從自然數到洛書的一個映射。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　看來，洛書用九數，還真是有一番道理，有一番妙趣呢！
　　三、啟示來自5月13日
　　九，這是宇宙中最大的數字。
　　作為大法弟子，我們知道“5月13日”意義非凡，這是普天同慶的日子。
　　一、師父自1992年5月13日開始傳功，在中國大陸舉辦了54期面授班。
　　二、師父的生日是1951年5月13日。
　　三、“全世界法輪大法日”是每年5月13日。
　　我們仔細看看“5月13日”，去掉漢字月、日，只留下數位。那麼，這裡的數字排列，正好是“五、一、三”。
　　5+1+3=9　　這個算式引人注目。一三五七九，按照古人的說法，這是天數，也是陽數。這個簡單的算式出現了五個數字中的四個。相比之下，這個算式表達能力最強。寶寶曾經告訴我，她在國外的時候，看見人家送什麼花，都是單數呢！比如一朵三朵的。難道，這外國人也有中國人這樣的數字理念？
　　如果用一、三、五這三個數位，排列三位元數，可以有六種排列方式。
　　正向排列：一三五，三五一，五一三；
　　反向排列：一五三，五三一，三一五。
　　在前面的短文中，我寫過一些從大法書《轉法輪》目錄中獲得的啟示。這裡，接著講一點個人的粗淺認識。翻開大法書《轉法輪》目錄，從第一講到第九講，依次排列為： 
　　第一講，包含七個題目，所有題目總計62個字。 
　　第二講，包含五個題目，所有題目總計32個字。 
　　第三講，包含十個題目，所有題目總計59個字。 
　　第四講，包含五個題目，所有題目總計18個字。 
　　第五講，包含八個題目，所有題目總計26個字。 
　　第六講，包含七個題目，所有題目總計30個字。 
　　第七講，包含五個題目，所有題目總計24個字。 
　　第八講，包含七個題目，所有題目總計19個字。 
　　第九講，包含六個題目，所有題目總計18個字。 
　　和從前的排列比較，這裡增加了每一講中，所有題目字數的總計。看上去，題目字數似乎沒有什麼明顯的規律。我們先作一點資料統計。題目字數大致分佈如下：
　　一三：62，59。這一類，大體上為6的十倍。歸類記作甲。
　　二六：32，30。這一類，大體上為6的五倍。歸類記作乙。
　　五七：26，24。這一類，大體上為6的四倍。歸類記作丙。
　　四八九：18，19，18。這一類，大體上為6的三倍。歸類記作丁。
　　排列順序：一，二，三，四，五，六，七，八，九
　　總計字數：62，32，59，18，26，30，24，19，18　　數據歸類：甲，乙，甲，丁，丙，乙，丙，丁，丁
　　受“5月13日”的啟示，我作了認真的計算，從上面這些資料中，發現了一些非常有趣的數字排列。
　　[1]從第一講開始，直到第九講，按照順序排列，可以排列成三組，每組出現一種對稱的結構，類似回文詩句。
　　一二三→甲乙甲；
　　四五六七八→丁丙乙丙丁；
　　九→丁。
　　第一組包含講數為三，第二組包含講數為五，第三組包含講數為一。
　　這裡的數字排列，正好是“三、五、一”。
　　[2]從第九講開始，接著第一講，直到第八講，按照順序排列，可以排列成三組，同樣每組出現一種對稱的結構，類似回文詩句。
　　九一二三四→丁甲乙甲丁；
　　五六七→丙乙丙；
　　八→丁。
　　第一組包含講數為五，第二組包含講數為三，第三組包含講數為一。
　　這裡的數字排列，正好是“五、三、一”。
　　[3]第一講，第二講，第三講，題目字數總計為一百五十三字。
　　一二三：62+32+59=153　　這裡的數字排列，正好是“一、五、三”。
　　[4]第二講，第三講，第四講，第五講，題目字數總計為一百三十五字。
　　二三四五：32+59+18+26=135　　這裡的數字排列，正好是“一、三、五”。
　　[5]第四講，第五講，第六講，第七講，第八講，第九講，題目字數總計為一百三十五字。
　　四五六七八九：18+26+30+24+19+18=135　　這裡的數字排列，正好是“一、三、五”。
　　[6]第六講，第七講，第八講，第九講，第一講，題目字數總計為一百五十三字。
　　六七八九一：30+24+19+18+62=153　　這裡的數字排列，正好是“一、五、三”。
　　[7]第一講，第二講，第三講，直到第九講，題目字數總計二百八十八字。注意到，“第一講”也有三個字，這樣的標題合計有二十七個字。這樣，題目字數與每講三字，合計有三百一十五字。
　　一二三四五六七八九：62+32+59+18+26+30+24+19+18=288　　題目字數與每講三字合計：288+27=315　　這裡的數字排列，正好是“三、一、五”。
　　順便說一句，按照棄九演算法，288→2+8+8=18→1+8=9。
　　數一三五，其和為九。我們看見，正向和反向的全部排列，有六種，這裡都出現了。你看，這數字的世界是多麼的有趣啊。
　　拂曉是一位快樂天使，看過我的數字文，竟然說我是“數字狂”。其實，喜歡數位，也是喜歡文字的一個門類啊。數字王國也是非常奧妙的。 　
洛書旋機與轉盤結構

　　九數
　　好久沒有解洛書了，實際上一直在寫。可真正決定投稿的時候，我又開始從新寫了，換了一種新的結構。原來的東西，提煉出最簡明的結構，以短文的方式呈現。這樣的好處是，看起來方便，不然就要看一本算術書了，以數字計算為主的書。好在今天時代的計算實在方便，我不用手算了，有專用計算器幫我算了，捷如雷電。
　　四九二
　　三五七
　　八一六
　　洛書旋機方程組
　　a + b + c + d = e + f + g + h　　a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 + g^2 + h^2　　a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = e^3 + f^3 + g^3 + h^3　　這組方程，我們已經見過很久了，洛書的玄妙，與這關係緊密。我作了大量的計算，發現無數無數的數字方陣都遵循這組方程。
　　轉盤，對於人類來說，並不陌生。古代的中國人，有“天道左旋，地道右旋”的說法。現代的人類，更有“九大行星圍繞太陽在轉”的天文觀察。這樣的結構，我們稱之為轉盤結構。
　　先民的神話記憶中，一直流傳著盤古開天闢地的故事。請看仔細，這位神的名字，就有一個“盤”字呢！也許這本身就是神在啟示人類——盤式旋轉是宇宙的基本運動方式吧！
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　　這個圓點圖，就是今天我們要研究的內容。黑白二色，分層布列。這樣一層一層的，都是轉盤。想來，中國人的東西很有趣，圍棋也是黑白圓點，河圖洛書也是黑白圓點。也許，這些都是古時候道喜歡的東西吧！
　　洛書很玄妙，只有九個數字。許多人以為很簡單，確實很簡單，九個數字能不簡單嗎。可是，簡單的東西似乎不足以讓今天的人產生深刻的數字記憶。這樣，我決定弄點大數，當然電子時代，這大數也是小數，不過對於現實生活買蘿蔔白菜來說確實是大數。
　　我認真的思考了一下，到底選擇什麼樣的數字方陣呢？最終決定選擇九九八十一數字方陣。原因很多，完全是這九這八十一內涵實在是太豐富太深邃了。
　　31，36，29，76，81，74，13，18，11　　30，32，34，75，77，79，12，14，16　　35，28，33，80，73，78，17，10，15　　22，27，20，40，45，38，58，63，56　　21，23，25，39，41，43，57，59，61　　26，19，24，44，37，42，62，55，60　　67，72，65，04，09，02，49，54，47　　66，68，70，03，05，07，48，50，52　　71，64，69，08，01，06，53，46，51　　這個數陣，總計八十一個數，可以劃分出五個層次。由內向外，第一層轉盤有一個數，第二層轉盤有八個數，第三層轉盤有十六個數，第四層有二十四個數，第五層有三十二個數。
　　中國人，喜歡看《西遊記》，古典小說名著，幾乎是家喻戶曉了。確實，誰不知道唐僧，誰不知道孫悟空呢！那小說裡，講唐僧西天取經，觀音菩薩安排了九九八十一難，正好是九九歸真。
　　第五層轉盤——九九八十一
　　31，36，29，76，81，74，13，18，11　　30，●，●，●，●，●，●，●，16　　35，●，○，○，○，○，○，●，15　　22，●，○，●，●，●，○，●，56　　21，●，○，●，◎，●，○，●，61　　26，●，○，●，●，●，○，●，60　　67，●，○，○，○，○，○，●，47　　66，●，●，●，●，●，●，●，52　　71，64，69，08，01，06，53，46，51　　正向取數
31→36→29→76→81→74→13→18→11→16→15→56→61→60→47→52→51→46→53→06→01→08→69→64→71→66→67→26→21→22→35→30，
11→16→15→56→61→60→47→52→51→46→53→06→01→08→69→64→71→66→67→26→21→22→35→30→31→36→29→76→81→74→13→18，　51→46→53→06→01→08→69→64→71→66→67→26→21→22→35→30→31→36→29→76→81→74→13→18→11→16→15→56→61→60→47→52，　71→66→67→26→21→22→35→30→31→36→29→76→81→74→13→18→11→16→15→56→61→60→47→52→51→46→53→06→01→08→69→64；
　　反向取數
31→30→35→22→21→26→67→66→71→64→69→08→01→06→53→46→51→52→47→60→61→56→15→16→11→18→13→74→81→76→29→36，
71→64→69→08→01→06→53→46→51→52→47→60→61→56→15→16→11→18→13→74→81→76→29→36→31→30→35→22→21→26→67→66，
51→52→47→60→61→56→15→16→11→18→13→74→81→76→29→36→31→30→35→22→21→26→67→66→71→64→69→08→01→06→53→46，
11→18→13→74→81→76→29→36→31→30→35→22→21→26→67→66→71→64→69→08→01→06→53→46→51→52→47→60→61→56→15→16。
　　數字等和
　　3136297681741318111615566160475251465306010869647166672621223530 +　　1116155661604752514653060108696471666726212235303136297681741318 +　　5146530601086964716667262122353031362976817413181116155661604752 +　　7166672621223530313629768174131811161556616047525146530601086964　　=16 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 564　　3130352221266766716469080106534651524760615615161118137481762936 +　　7164690801065346515247606156151611181374817629363130352221266766 +　　5152476061561516111813748176293631303522212667667164690801065346 +　　1118137481762936313035222126676671646908010653465152476061561516　　=16 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 565 656 564　　平方等和
　　3136297681741318111615566160475251465306010869647166672621223530^2 + 　　1116155661604752514653060108696471666726212235303136297681741318^2 + 　　5146530601086964716667262122353031362976817413181116155661604752^2 + 　　7166672621223530313629768174131811161556616047525146530601086964^2　　 =88 930 140 297 147 810 267 505 926 320 847 189 874 191 355 631 375 949 570 876 573 165 248 400 111 699 360 387 390 821 509 329 422 426 722 278 578 276 546 457 053 756 824　　3130352221266766716469080106534651524760615615161118137481762936^2+　　7164690801065346515247606156151611181374817629363130352221266766^2+　　5152476061561516111813748176293631303522212667667164690801065346^2+　　1118137481762936313035222126676671646908010653465152476061561516^2　　 =88 930 140 297 147 810 267 505 926 320 847 189 874 191 355 631 375 949 570 876 573 165 248 400 111 699 360 387 390 821 509 329 422 426 722 278 578 276 546 457 053 756 824　　立方等和
　　3136297681741318111615566160475251465306010869647166672621223530^3 +　　1116155661604752514653060108696471666726212235303136297681741318^3 +　　5146530601086964716667262122353031362976817413181116155661604752^3 +　　7166672621223530313629768174131811161556616047525146530601086964^3　　 =536 644 163 514 942 504 084 973 258 924 173 547 315 876 710 321 284 767 422 535 106 371 438 640 003 878 145 443 591 002 740 213 754 979 228 494 278 973 329 139 714 996 871 025 047 899 816 295 768 326 520 672 090 424 382 453 737 004 243 354 765 338 502 784　　3130352221266766716469080106534651524760615615161118137481762936^3 +　　7164690801065346515247606156151611181374817629363130352221266766^3 + 　　5152476061561516111813748176293631303522212667667164690801065346^3 + 　　1118137481762936313035222126676671646908010653465152476061561516^3　　=536 644 163 514 942 504 084 973 258 924 173 547 315 876 710 321 284 767 422 535 106 371 438 640 003 878 145 443 591 002 740 213 754 979 228 494 278 973 329 139 714 996 871 025 047 899 816 295 768 326 520 672 090 424 382 453 737 004 243 354 765 338 502 784　　這個例子，是最外層轉盤完整的迴圈，包含全部的三十二個二位數，寫成的數有六十四位元數字，立方和有一百九十二位元數字。
　　第四層轉盤——七七四十九
　　陽盤
　　●，34，●，77，●，12，●
　　28，○，○，○，○，○，10　　●，○，●，●，●，○，●
　　23，○，●，◎，●，○，59　　●，○，●，●，●，○，●
　　72，○，○，○，○，○，54　　●，70，●，05，●，48，●
　　正向取數
　　 34→77→12→10→59→54→48→05→70→72→23→28，
　　 10→59→54→48→05→70→72→23→28→34→77→12，
　　 48→05→70→72→23→28→34→77→12→10→59→54，
　　 72→23→28→34→77→12→10→59→54→48→05→70；
　　反向取數
　　 28→23→72→70→05→48→54→59→10→12→77→34，
　　 70→05→48→54→59→10→12→77→34→28→23→72，
　　 54→59→10→12→77→34→28→23→72→70→05→48，
　　 12→77→34→28→23→72→70→05→48→54→59→10。
　　數字等和
　　 347712105954480570722328 + 105954480570722328347712 + 　　 480570722328347712105954 + 722328347712105954480570　　 =1 656 565 656 565 656 565 656 564　　 282372700548545910127734 + 700548545910127734282372 + 　　 545910127734282372700548 + 127734282372700548545910　　 =1 656 565 656 565 656 565 656 564　　平方等和
　　 347712105954480570722328^2 + 105954480570722328347712^2 + 　　 480570722328347712105954^2+722328347712105954480570^2　　 =884 836 521 648 002 419 880 758 145 466 508 655 027 883 149 544　　 282372700548545910127734^2 + 700548545910127734282372^2 + 　　 545910127734282372700548^2 + 127734282372700548545910^2　　 =884 836 521 648 002 419 880 758 145 466 508 655 027 883 149 544　　立方等和
　　 347712105954480570722328^3 + 105954480570722328347712^3 + 　　 480570722328347712105954^3 + 722328347712105954480570^3　　 =531 096 886 719 109 080 007 205 808 941 824 970 107 521 038 540 569 052 197 401 692 489 863 344　　 282372700548545910127734^3 + 700548545910127734282372^3 + 　　 545910127734282372700548^3 + 127734282372700548545910^3　　 =531 096 886 719 109 080 007 205 808 941 824 970 107 521 038 540 569 052 197 401 692 489 863 344　　陰盤
　　32，●，75，●，79，●，14　　●，○，○，○，○，○，●
　　27，○，●，●，●，○，63　　●，○，●，◎，●，○，●
　　19，○，●，●，●，○，55　　●，○，○，○，○，○，●
　　68，●，03，●，07，●，50　　正向取數
　　 32→75→79→14→63→55→50→07→03→68→19→27，
　　 14→63→55→50→07→03→68→19→27→32→75→79，
　　 50→07→03→68→19→27→32→75→79→14→63→55，
　　 68→19→27→32→75→79→14→63→55→50→07→03；
　　反向取數
　　 32→27→19→68→03→07→50→55→63→14→79→75，
　　 68→03→07→50→55→63→14→79→75→32→27→19，
　　 50→55→63→14→79→75→32→27→19→68→03→07，
　　 14→79→75→32→27→19→68→03→07→50→55→63。
　　數字等和
　　327579146355500703681927 +146355500703681927327579 + 　　 500703681927327579146355 + 681927327579146355500703　　 =1 656 565 656 565 656 565 656 564　　 322719680307505563147975 + 680307505563147975322719 +　　 505563147975322719680307 + 147975322719680307505563　　 =1 656 565 656 565 656 565 656 564　　平方等和
　　 327579146355500703681927^2 + 146355500703681927327579^2 +　　 500703681927327579146355^2 + 681927327579146355500703^2　　 =844 457 086 908 042 799 315 498 185 845 943 394 987 503 714 804　　 322719680307505563147975^2 + 680307505563147975322719^2 + 　　 505563147975322719680307^2 + 147975322719680307505563^2　　 =844 457 086 908 042 799 315 498 185 845 943 394 987 503 714 804　　立方等和
　　 327579146355500703681927^3 + 146355500703681927327579^3 + 　　 500703681927327579146355^3 + 681927327579146355500703^3　　 =480 928 498 102 795 612 032 185 909 278 602 202 734 456 988 580 518 883 808 785 379 021 888 324　　 322719680307505563147975^3 + 680307505563147975322719^3 + 　　 505563147975322719680307^3 + 147975322719680307505563^3　　 =480 928 498 102 795 612 032 185 909 278 602 202 734 456 988 580 518 883 808 785 379 021 888 324　　也許有人會問，怎麼這裡出現陰陽兩盤的劃分啊？是的，這正是這個數字方陣的奇妙所在。當初，我計算到這裡的時候，所取的數字排列老是遭遇失敗，百思不得其解！終於，我領悟到了“太極生兩儀”的演化原理，成功分解出了陰盤和陽盤。
　　第三層轉盤——五五二十五
　　33，80，73，78，17　　20，●，●，●，58　　25，●，◎，●，57　　24，●，●，●，62　　65，04，09，02，49　　正向取數
　　33→80→73→78→17→58→57→62→49→02→09→04→65→24→25→20，
　　17→58→57→62→49→02→09→04→65→24→25→20→33→80→73→78，
　　49→02→09→04→65→24→25→20→33→80→73→78→17→58→57→62，
　　65→24→25→20→33→80→73→78→17→58→57→62→49→02→09→04；
　　反向取數
　　33→20→25→24→65→04→09→02→49→62→57→58→17→78→73→80，
　　65→04→09→02→49→62→57→58→17→78→73→80→33→20→25→24，
　　49→62→57→58→17→78→73→80→33→20→25→24→65→04→09→02，